# 真题训练 · 解题整理

> 本文件汇总了本次训练中讨论过的全部题目，含答案与简要解法。公式为 Obsidian（MathJax）格式，可直接渲染。

## 目录

**计算题**
1. [第3题 三角形面积（比例放大）](#第3题)
2. [第4题 酒精浓度（反复稀释）](#第4题)
3. [第5题 两圆阴影（弓形面积）](#第5题)
4. [第7题 相遇问题（合路程 2D）](#第7题)
5. [第11题 轮岗（错位排列）](#第11题)
6. [第12题 正方体对角线段](#第12题)
7. [第13题 球面镀层用料](#第13题)
8. [第15题 掷硬币停止概率](#第15题)

**条件充分性判断**
9. [第18题 绝对值不等式解集为空](#第18题)
10. [第19题 曲线过点求因子](#第19题)
11. [半圆中垂线 OD 长](#半圆-od)
12. [点在单位圆外](#单位圆外)
13. [袋中红球最多](#红球最多)
14. [确定二次函数系数](#二次函数系数)
15. [一元二次方程有实根](#方程有实根)
16. [确定整数集合 M](#集合-m)

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## 计算题

### 第3题
**题目**：已知 $AE=3AB$，$BF=2BC$，$\triangle ABC$ 面积为 2，求 $\triangle AEF$ 面积。

**答案：B（12）**

两次"同高比底"放大：
- $\triangle ABC \to \triangle ABF$（共用顶点 A）：$\times \dfrac{BF}{BC}=2$
- $\triangle ABF \to \triangle AEF$（共用顶点 F）：$\times \dfrac{AE}{AB}=3$

$$S_{\triangle AEF}=2\times2\times3=12$$

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### 第4题
**题目**：容器装满 90% 酒精，倒出 1 升加水充满，搅匀后再倒 1 升加水充满，此时浓度 40%，求容积。

**答案：B（3 升）**

每次"倒 1 升加满"浓度乘 $\dfrac{V-1}{V}$：

$$90\%\left(\frac{V-1}{V}\right)^2=40\%\Rightarrow\left(\frac{V-1}{V}\right)^2=\frac49\Rightarrow\frac{V-1}{V}=\frac23\Rightarrow V=3$$

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### 第5题
**题目**：两圆半径均为 1，互过对方圆心，求中间透镜形（弓形）阴影面积。

**答案：$\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}$（约 1.23，应为 D 选项）**

圆心距 = 半径 = 1，公共弦对应圆心角 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$。

弓形面积公式：$S_{弓}=\dfrac12 r^2(\theta-\sin\theta)=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}$

阴影 = 两个弓形：

$$S=2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$$

> 陷阱：$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}$ 只是一个弓形，要 $\times2$。

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### 第7题
**题目**：甲乙 8:00 相向出发，9:00 首次相遇，之后各提速 1.5 km/h，到端点即返回，10:30 第二次相遇，求两地距离。

**答案：D（9 公里）**

- 出发到第一次相遇 1 小时：$a+b=D$
- 相邻两次相遇之间合走 $2D$；提速后合速度 $D+3$，用时 1.5 h：

$$(D+3)\times1.5=2D\Rightarrow1.5D+4.5=2D\Rightarrow D=9$$

**通用结论**：相向出发，第一次相遇合走 $1D$，之后每次相遇再合走 $2D$（第 $n$ 次累计 $(2n-1)D$）。

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### 第11题
**题目**：4 个部门经理轮岗，每人都必须去别的部门，求方案数。

**答案：D（9）**

即"错位排列" $D_4$：

$$D_4=4!\left(1-1+\frac12-\frac16+\frac1{24}\right)=9$$

递推 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$：$D_1{=}0,D_2{=}1,D_3{=}2,D_4{=}9,D_5{=}44$。

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### 第12题
**题目**：棱长 2 的正方体 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$，$F$ 是棱 $C'D'$ 中点，求 $AF$。

**答案：A（3）**

设 $A=(0,0,0)$，则 $F=(1,2,2)$：

$$AF=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3$$

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### 第13题
**题目**：半径 5 cm 球面镀 0.01 cm 装饰金属，原料是棱长 20 cm 正方体锭子，加工 10000 个工艺品最少需几个锭子？（$\pi=3.14$，忽略损耗）

**答案：C（4）**

单个镀层体积 $\approx 4\pi r^2\times d=4\times3.14\times25\times0.01=3.14\ \text{cm}^3$

总量 $=3.14\times10000=31400\ \text{cm}^3$；锭子体积 $=20^3=8000\ \text{cm}^3$

$$\frac{31400}{8000}=3.925\Rightarrow\lceil3.925\rceil=4$$

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### 第15题
**题目**：掷均匀硬币，当正面次数 > 反面次数时停止，求 4 次之内停止的概率。

**答案：C（5/8）**

设 $d=$ 正 $-$ 反，停止即 $d$ 首次到 $+1$，只能发生在奇数次。

- 第 1 次停（正）：$P_1=\dfrac12$
- 第 3 次停（反正正）：$P_3=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$

$$P=\frac12+\frac18=\frac58$$

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## 条件充分性判断

> 每题问：条件能否**保证**题干结论成立。选项 A/B/C/D/E 含义固定：A 只(1)充分；B 只(2)充分；C 单独都不充分但联合充分；D 各自都充分；E 联合也不充分。

### 第18题
**题干**：不等式 $|x^2+2x+a|\le1$ 的解集为空。
(1) $a<0$　(2) $a>2$

**答案：B**

$f(x)=(x+1)^2+(a-1)$，最小值 $a-1$。解集为空 ⟺ 最小值 $>1$ ⟺ $a>2$。
- (1) $a<0$：解集非空 → 不充分
- (2) $a>2$：恰是充要条件 → 充分

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### 第19题
**题干**：曲线 $l:y=x^3-6x^2+bx+a$，判断 $(a+b-5)(a-b-5)=0$。
(1) 过点 $(1,0)$　(2) 过点 $(-1,0)$

**答案：A**

- (1) 代入 $(1,0)$：$1-6+b+a=0\Rightarrow a+b-5=0$，第一个因子为 0 → 乘积为 0 → **充分**
- (2) 代入 $(-1,0)$：$-1-6-b+a=0\Rightarrow a-b=7$，则 $a-b-5=2\neq0$，$a+b$ 不定 → **不充分**

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### 半圆 OD
**题干**：$O$ 是半圆圆心，$C$ 在半圆上，$OD\perp AC$，求 $OD$。
(1) 已知 $BC$　(2) 已知 $AO$

**答案：A**

$AB$ 为直径 ⟹ $\angle ACB=90^\circ$；$O$、$D$ 分别是 $AB$、$AC$ 中点，$OD$ 是中位线：

$$OD=\frac12 BC$$

- (1) 已知 $BC$ → 充分
- (2) 已知 $AO$（半径）不定 $BC$ → 不充分

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### 单位圆外
**题干**：$x,y$ 为实数，判断 $x^2+y^2\ge1$。
(1) $4y-3x\ge5$　(2) $(x-1)^2+(y-1)^2\ge5$

**答案：A**

- (1) 原点到直线 $-3x+4y-5=0$ 距离 $=\dfrac{5}{5}=1$，直线与单位圆相切且半平面在远离原点一侧 → 每点距原点 $\ge1$ → **充分**
- (2) 原点在大圆内，且 $\sqrt2+1>\sqrt5$，单位圆有部分露在大圆外。反例 $(-0.7,-0.7)$：满足条件(2) 但 $x^2+y^2=0.98<1$ → **不充分**

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### 红球最多
**题干**：袋中有红黑白三色球若干，判断红球最多。
(1) 取一球是白球概率 $2/5$　(2) 取两球至少一黑的概率 $<1/5$

**答案：C**

设总数 $N$。(1) 给 $W=\dfrac{2N}{5}$；(2) 给"黑球很少"（$P(\text{无黑})>\dfrac45$ 迫使 $K<\dfrac N5$）。

- (1) 单独：红黑分配不定 → 不充分
- (2) 单独：白球不定 → 不充分
- 联合：$R=\dfrac{3N}{5}-K$，$K<\dfrac N5\Rightarrow R>W$ 且 $R>K$，红球最多 → **充分**

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### 二次函数系数
**题干**：二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，判断能否确定 $a,b,c$。
(1) 过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$　(2) 与直线 $y=a+b$ 相切

**答案：C**

- (1)：$c=0,\ a+b=1$（2 个方程 3 未知）→ 不充分
- (2)：顶点值 $=a+b$（1 个方程）→ 不充分
- 联合：直线为 $y=1$，$-\dfrac{b^2}{4a}=1$ 且 $b=1-a$ ⟹ $(a+1)^2=0$，唯一 $a=-1,b=2,c=0$ → **充分**

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### 方程有实根
**题干**：方程 $x^2+2(a+b)x+c^2=0$ 有实根。
(1) $a,b,c$ 是三角形三边　(2) 实数 $a,c,b$ 成等差数列

**答案：D**

有实根 ⟺ $\Delta=4[(a+b)^2-c^2]\ge0$ ⟺ $(a+b-c)(a+b+c)\ge0$。

- (1) 三角形：$a+b>c$，两因子皆正 → $\Delta>0$ → **充分**
- (2) 等差中项 $c$：$a+b=2c$，$(a+b)^2-c^2=3c^2\ge0$ → **充分**

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### 集合 M
**题干**：$M=\{a,b,c,d,e\}$ 是整数集合（元素互异），判断能否确定 $M$。
(1) 平均值 10　(2) 方差 2

**答案：C**

- (1) 单独：和为 50，具体不定 → 不充分
- (2) 单独：可整体平移（$\{0,1,2,3,4\}$ 与 $\{8,\dots,12\}$ 方差都是 2）→ 不充分
- 联合：偏差 $d_i=x_i-10$ 满足 $\sum d_i=0,\ \sum d_i^2=10$，5 个不同整数唯一为 $\{-2,-1,0,1,2\}$，故

$$M=\{8,9,10,11,12\}\quad\to\ \textbf{充分}$$

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## 方法小结

| 题型 | 核心工具 |
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| 三角形面积比 | 同高（或同底）时，面积比 = 底比（或高比） |
| 反复稀释 | 每次操作浓度乘固定比例 |
| 弓形面积 | $\dfrac12 r^2(\theta-\sin\theta)$，$\theta$ 用弧度 |
| 多次相遇 | 合路程、合速度；第 $n$ 次相遇合走 $(2n-1)D$ |
| 错位排列 | $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ |
| 立体几何求线段 | 建系用两点距离公式 |
| 薄层用料 | 表面积 × 厚度，最后向上取整 |
| 条件充分性 | 几何语言→代入方程；判别式定实根/相切；先验证单独，再联合 |