抱歉给你带来困扰。可能是公式写法或符号导致渲染失败。我重新写一个兼容性更好的版本，使用 $$ 块级公式，避免使用 \cdots 等可能不兼容的命令：
定义： 所有数值之和除以数值的个数。
公式：
对于 n 个数 x₁, x₂, ..., xₙ：
\[A = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \]
例子： 求 2, 4, 6 的算术平均值
\[A = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
定义： 所有数值乘积的 n 次方根。
公式：
对于 n 个正数 x₁, x₂, ..., xₙ：
\[G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} \]
例子： 求 2, 4, 8 的几何平均值
\[G = \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = \sqrt[3]{64} = 4 \]
对于任意正数，算术平均值 ≥ 几何平均值，当且仅当所有数相等时取等号：
\[\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n} \]
经典特例（两个数）：
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]
| 数据 | 算术平均值 | 几何平均值 |
|---|---|---|
| 2, 8 | (2+8)/2 = 5 | √(2×8) = 4 |
| 3, 3, 3 | (3+3+3)/3 = 3 | ∛(3×3×3) = 3 |
| 1, 4, 16 | (1+4+16)/3 = 7 | ∛(1×4×16) = 4 |
可以看到：
| 类型 | 适用场景 |
|---|---|
| 算术平均值 | 求平均成绩、平均收入等加法关系的数据 |
| 几何平均值 | 求平均增长率、平均比率等乘法关系的数据 |
例子： 某投资第一年涨 10%，第二年涨 50%，平均增长率用几何平均：
\[G = \sqrt{1.10 \times 1.50} \approx 1.284 \]
平均年增长率约为 28.4%，而不是算术平均的 30%。
moocstudent
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