设 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，且 \(b \neq 0\)，\(d \neq 0\)。
交换两内项或两外项，比例仍成立。
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]
条件：\(c \neq 0\)
比例两边同时取倒数，比例仍成立。
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \]
条件：\(a \neq 0\)，\(c \neq 0\)
分子加分母后与原分母的比相等。
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \]
分子减分母后与原分母的比相等。
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \]
若多个比相等，则所有分子之和与所有分母之和的比等于原比。
\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} \quad \Rightarrow \quad \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = \frac{a_1}{b_1} \]
⚠️ 易错点（使用条件）：
等比定理成立的前提是：所有分母之和不为零。
\[b_1 + b_2 + \cdots + b_n \neq 0 \]
若分母之和恰好为零，则定理不能使用。
设 \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\)
| 定理 | 推导 | 结果 |
|---|---|---|
| 更比 | \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) | 成立 |
| 反比 | \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2}\) | \(2 = 2\) |
| 合比 | \(\frac{1+2}{2} = \frac{2+4}{4}\) | \(\frac{3}{2} = \frac{6}{4}\) |
| 分比 | \(\frac{1-2}{2} = \frac{2-4}{4}\) | \(\frac{-1}{2} = \frac{-2}{4}\) |
| 等比 | \(\frac{1+2+3}{2+4+6} = \frac{6}{12}\) | \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) |
合比与分比结合使用：
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \]
条件：\(a \neq b\)，\(c \neq d\)
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