弓形就是一条弦和它所对的弧围成的区域——像一张弓。下面把它的面积公式从头推一遍。
设圆的半径为 $r$，圆心为 $O$，一条弦 $AB$ 把圆分成两块，其中较小（或指定）的那块就是弓形。弦 $AB$ 所对的圆心角记为 $\theta$（用弧度）。
关键分解：
$$ \text{弓形} = \text{扇形 } OAB ;-; \text{三角形 } OAB $$
也就是"扇形挖掉中间那个三角形，剩下的弓形"。
① 扇形面积
整个圆面积是 $\pi r^{2}$，对应圆心角 $2\pi$。扇形占的比例是 $\dfrac{\theta}{2\pi}$，所以
$$ S_{\text{扇}}=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^{2}=\frac{1}{2}r^{2}\theta $$
② 三角形 $OAB$ 面积
两条边都是半径 $r$，夹角为 $\theta$，用"两边夹角"公式：
$$ S_{\triangle}=\frac{1}{2},r\cdot r\cdot\sin\theta=\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta $$
两者相减：
$$ \boxed{,S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right),} $$
这就是核心公式。$\theta$ 用弧度；如果题目给的是度数，先换算 $\theta_{\text{弧度}}=\dfrac{\pi}{180}\theta_{\text{度}}$。
那题里公共弦所对圆心角 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$（即 $120^\circ$），$r=1$：
$$ S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} $$
其中扇形部分 $=\dfrac12\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$，三角形部分 $=\dfrac12\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}$，一目了然。
| 圆心角 $\theta$ | 扇形 $\frac12\theta$ | 三角形 $\frac12\sin\theta$ | 弓形 $\frac12(\theta-\sin\theta)$ |
|---|---|---|---|
| $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt3}{4}$ | $\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}$ |
| $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}$ |
| $120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\sqrt3}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}$ |
| $180^\circ=\pi$（半圆） | $\dfrac{\pi}{2}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
[!warning] 提醒
- $\theta$ 必须用弧度代入，$\sin\theta$ 里也是弧度对应的角；写成 $\theta-\sin\theta$ 时两处角度要一致。
- 当 $\theta>\pi$（弓形是"大半块"）时，$\sin\theta<0$，公式 $\dfrac12 r^2(\theta-\sin\theta)$ 仍然正确，会自动变成"扇形加三角形"，不用另记公式。
- 别把弓形和扇形搞混：扇形是两条半径加弧；弓形是一条弦加弧。
需要的话，我可以再补一张标注了扇形、三角形、弓形的示意图。
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