绝对值

1. 几何意义

• \(|a|\) 表示在数轴上 \(a\) 点与原点 \(0\) 的距离。
• \(|a - b|\) 表示在数轴上 \(a\) 点与 \(b\) 点的距离。
• \(|a + b|\) 表示数轴上 \(a\) 点与 \(-b\) 点的距离。

2. 代数意义

\[|a| = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]

3. 绝对值性质

(1) 非负性

\[|a| \geq 0 \]

任何实数 \(a\) 的绝对值非负。

(2) 对称性

\[|-a| = |a| \]

\[|a - b| = |b - a| \]

互为相反数的两个实数的绝对值相等。

(3) 自比性

\[\frac{|a|}{a} = \frac{a}{|a|} = \begin{cases} 1, & a > 0 \\ -1, & a < 0 \end{cases}\]

注意： 绝对值的自比性通常与以下性质结合考查：

• 若 \(abc > 0\)，则三个数都为正，或两负一正；
• 若 \(abc < 0\)，则三个数都为负，或两正一负。

(4) 等价性

① 根号与平方：

\[\sqrt{a^2} = |a| \]

② 去绝对值：

\[|a|^2 = a^2 \]

4. 绝对值三角不等式

基本形式

\[|a + b| \leq |a| + |b| \]

\[|a - b| \leq |a| + |b| \]

完整形式

\[||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b| \]

5. 等号成立条件

(1) \(|a + b| = |a| + |b|\)

当且仅当 \(a\) 与 \(b\) 同号或至少一个为零，即：

\[ab \geq 0 \]

(2) \(|a - b| = |a| + |b|\)

当且仅当 \(a\) 与 \(b\) 异号或至少一个为零，即：

\[ab \leq 0 \]

(3) \(|a + b| = ||a| - |b||\)

当且仅当 \(a\) 与 \(b\) 异号或至少一个为零，即：

\[ab \leq 0 \]

(4) \(|a - b| = ||a| - |b||\)

当且仅当 \(a\) 与 \(b\) 同号或至少一个为零，即：

\[ab \geq 0 \]

6. 等号成立条件总结

（1）|a + b| = |a| + |b|

• 条件：ab ≥ 0
• 即 a 与 b 同号或至少一个为零

（2）|a - b| = |a| + |b|

• 条件：ab ≤ 0
• 即 a 与 b 异号或至少一个为零

（3）|a + b| = ||a| - |b||

• 条件：ab ≤ 0
• 即 a 与 b 异号或至少一个为零

（4）|a - b| = ||a| - |b||

• 条件：ab ≥ 0
• 即 a 与 b 同号或至少一个为零

口诀记忆

• 同号和最大，异号差最大
• 同号差最小，异号和最小

解释：

• \(ab \geq 0\)（同号）：\(|a + b|\) 取最大值，\(|a - b|\) 取最小值
• \(ab \leq 0\)（异号）：\(|a - b|\) 取最大值，\(|a + b|\) 取最小值

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