平稳核函数是一类在空间统计和机器学习（尤其是高斯过程）中非常常用的核函数。它的核心假设是：两个点的相似性，只取决于它们的相对距离，而与它们所处的绝对位置无关。
这被称为平移不变性。
一个核函数 \(k(x, x')\) 是平稳的，当且仅当它可以写成：
\[k(x, x') = k(x - x') \]
更常见的写法是只依赖于距离 \(r = \|x - x'\|\)：
\[k(x, x') = k(r) \]
这意味着，无论你在地图的北京还是纽约，只要两个点之间的相对位移向量一样，它们的相关性就完全相同。
这个概念借用了时间序列分析中的“弱平稳过程”，但用在空间/函数领域：
| 核函数 | 公式 \(k(x, x')\) （ \(\tau = |x - x'|\) ） | 场的特点 |
|---|---|---|
| 平方指数 / RBF | \(\exp\left(-\frac{\tau^2}{2\ell^2}\right)\) | 极其平滑，无穷阶可微 |
| Matérn 族 | \(\frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)}\left(\sqrt{2\nu}\frac{\tau}{\ell}\right)^\nu K_\nu\left(\sqrt{2\nu}\frac{\tau}{\ell}\right)\) | 平滑度可调，\(\nu=0.5\) 为指数核（粗糙），\(\nu \to \infty\) 趋近于 RBF |
| 指数核 | \(\exp\left(-\frac{\tau}{\ell}\right)\) | Ornstein-Uhlenbeck 过程，连续但不可微 |
| γ-指数核 | \(\exp\left(-\left(\frac{\tau}{\ell}\right)^\gamma\right)\)，\(0 < \gamma \leq 2\) | 控制平滑度，\(\gamma=2\) 即 RBF |
所有这些都只依赖 \(\tau\)，所以都是平稳的。
根据 Bochner 定理，任何平稳核都是某个正有限测度的傅里叶变换：
\[k(\tau) = \int e^{i \tau^\top \omega} d\mu(\omega) \]
这意味着：
| 特性 | 平稳核 | 非平稳核 |
|---|---|---|
| 定义 | \(k(x, x') = k(x - x')\) | 不能写成这种形式 |
| 输入空间 | 假定统计性质各处相同 | 允许特性随位置变化 |
| 典型例子 | RBF、Matérn | 神经网络核、线性核、带输入依赖长度的核 |
| 应用场景 | 平稳环境建模、标准回归/分类 | 空间非平稳数据、函数在不同区域平滑度不同的情况 |
一个非平稳的例子：假设要建模地形高度，山区变化剧烈，平原变化平缓。平稳核用全局统一的“长度尺度”参数，无法同时很好地刻画这两种区域。这时就需要非平稳核（如让长度尺度本身也是位置的函数 \(\ell(x)\)）。
在机器学习中，如果你没有特别的先验知识认为输入空间有结构差异，平稳核通常是默认的合理选择。RBF 和 Matérn 几乎是高斯过程回归的“标准配置”，它们都是平稳核。
需要我展开讲 Matérn 核如何通过 \(\nu\) 参数精细控制函数的平滑度吗？这在物理建模中经常用到。
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