mass conservation (continuaty)：

dmdr=4πr2ρ⟹drdm=14πr2ρ\frac{\text{d}m}{\text{d}r}=4\pi r^2\rho\Longrightarrow\frac{\text{d}r}{\text{d}m}=\frac{1}{4\pi r^2\rho}

Hydro-static balance：

dPdm=−Gm4πr4\frac{\text{d}P}{\text{d}m} = -\frac{Gm}{4\pi r^4}

Diffusion condition：

dlog⁡Tdlog⁡P=−Gm4πr4min⁡(∇rad,∇ad)\frac{\text{d}\log T}{\text{d}\log P} = -\frac{Gm}{4\pi r^4}\min(\nabla_{\text{rad}},\nabla_{\text{ad}})

energy conservation：

dL=ϵ˙nucdm−q˙dm\text{d}L = \dot\epsilon_{\text{nuc}}\text{d}m-\dot{q}\text{d}m

其中，ϵ˙nuc\dot\epsilon_{\text{nuc}} 是核反应率，q˙\dot{q} 是热量释放率.

dq=du+pdV−TdS⟹dqdt=dudt−pρ2dSdt\text{d}q=\text{d}u+p\text{d}V-T\text{d}S\Longrightarrow \frac{\text{d}q}{\text{d}t}=\frac{\text{d}u}{\text{d}t}-\frac{p}{\rho^2}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}

最终上面的能量守恒条件化为

dLdm=ϵ˙nuc−dudt+pρ2dSdt\frac{\text{d}L}{\text{d}m} = \dot\epsilon_{\text{nuc}}-\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+\frac{p}{\rho^2}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}

上述一共四个方程，都是一阶，因此需要四个边界条件：

• 在 m=0m=0 处，

  dTdm=0,dLdm=0\frac{\text{d}T}{\text{d}m}=0,\quad \frac{\text{d}L}{\text{d}m}=0

• 在 m=Mm=M 处，认为边缘温度是 TeffT_{\text{eff}}，其中

  L∝Teff4L \propto T_{\text{eff}}^4

homology

我们想要把上面的方程写成一个无量纲化的形式，方便数值求解.

第一个质量方程可以化为

r~=rR,x=mM,dr~dx=14πr~2ρMR3⟹r~2dr~dx=M4πR3ρ\tilde r=\frac{r}{R},\quad x=\frac{m}{M},\quad \frac{\text{d}\tilde r}{\text{d}x}=\frac{1}{4\pi\tilde r^2\rho}\frac{M}{R^3}\Longrightarrow\tilde r^2\frac{\text{d}\tilde r}{\text{d}x}=\frac{M}{4\pi R^3\rho}

其中 RHS 的量和恒星无关，是一个近似常量.

对于压强方程，我们可以做同样的事情，

dpdx=−Gx4πr~4M2R4⟹M2R4=const.,p1p2=M12/R14M22/R24\frac{\text{d}p}{\text{d}x} = -\frac{Gx}{4\pi\tilde r^4}\frac{M^2}{R^4}\Longrightarrow \frac{M^2}{R^4}=\text{const.},\quad \frac{p_1}{p_2}=\frac{M_1^2/R_1^4}{M_2^2/R_2^4}

对于 EoS，可以得到

T2T1=M2/(μ2R2)M1/(μ1R1)\frac{T_2}{T_1} = \frac{M_2/(\mu_2R_2)}{M_1/(\mu_1R_1)}

温度方程，

dTdm=−κl256πσr4T3⟹dT2dT1=l2κ2M2/(T23R24)l1κ1M1/(T13R14)\frac{\text{d}T}{\text{d}m}=\frac{-\kappa l}{256\pi\sigma r^4T^3}\Longrightarrow\frac{\text{d}T_2}{\text{d}T_1}=\frac{l_2\kappa_2M_2/(T_2^3R_2^4)}{l_1\kappa_1M_1/(T_1^3R_1^4)}

这里可以用刚刚在 EoS 中算出的 T2/T1T_2/T_1，最终有

l2l1=μ24M23/κ2μ14M13/κ1⟹L∝M3κμ4\frac{l_2}{l_1}=\frac{\mu_2^4M_2^3/\kappa_2}{\mu_1^4M_1^3/\kappa_1}\Longrightarrow L\propto\frac{M^3}{\kappa\mu^4}

也就是更大质量的星体明显更亮.

同理，

pc∝M2R4,ρc∝MR3⟹pc∝ρc4/3M2/3p_c\propto\frac{M^2}{R^4},\quad \rho_c\propto\frac{M}{R^3}\Longrightarrow p_c\propto\rho_c^{4/3}M^{2/3}

对于中心来说，

43dρcρc=χρdρρ+χTdTcTc⟹dTcTc=1χT(43−χρ)dρcρc\frac{4}{3}\frac{\text{d}\rho_c}{\rho_c}=\chi_\rho\frac{\text{d}\rho}{\rho}+\chi_T\frac{\text{d}T_c}{T_c}\Longrightarrow \frac{\text{d}T_c}{T_c}=\frac{1}{\chi_T}\left(\frac{4}{3}-\chi_\rho\right)\frac{\text{d}\rho_c}{\rho_c}

可以画出一个 log⁡Tc\log T_c - log⁡ρc\log \rho_c 图像：

• bf6c4-feat(note): update note于 2026/4/3