注意
设定上本次课需要很多光锥的图，但是我没时间在 mathematica 上画了...
这节课讲黑洞. 第一个是 Schwarzschild 黑洞：
dτ2=(1−2GMr)dt2−(1−2GMr)−1dr2−r2dθ2−r2sin2θdϕ2\text{d}\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\text{d}t^2 - \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\text{d}r^2-r^2\text{d}\theta^2-r^2\sin^2\theta\text{d}\phi^2
光锥对应 dτ=0\text{d}\tau=0，因此
±dt=dr1−2GMr⟹C±t=r+2GMln∣1−r2GM∣\pm\text{d}t = \frac{\text{d}r}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}}\Longrightarrow C\pm t = r+2GM\ln\left\vert1-\frac{r}{2GM}\right\vert
其中远离 2GM2GM 的一段可以看作一个直线，而靠近 2GM2GM 会得到一条以 r=2GMr=2GM 为渐近线的曲线；在 2GM2GM 以内，r=0r=0 是一个本性奇点 (而 r=2GMr=2GM 是坐标奇点，不是发散的)，因此随着时间演化，视界内的东西会落入奇点.
同学们课下可以算一下如果是白洞，在时间无限长的演化下某个物体能否逃出视界.
Freely Falling Particle starts to fall at r=r0r=r_0：
(drdτ)2=E2−(1−2GMr)=2GM(1r−1r0)\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}\tau}\right)^2 = E^2-\left(1-\frac{2GM}{r}\right) = 2GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)
可以解出一个参数方程，
r=r02(1+cosη),τ=r02(r02GM)1/2(η+sinη)r=\frac{r_0}{2}(1+\cos\eta),\quad \tau=\frac{r_0}{2}\left(\frac{r_0}{2GM}\right)^{1/2}(\eta+\sin\eta)
这意味着在粒子自己看来，可以在有限的时间内穿过视界. 但是视界在我们之前取的坐标中是一个坐标奇点，考虑换一个坐标消除这样的影响. 之前的奇点来源于坐标时间发散了，所以朴素的想法是减掉发散的项，这就是 Edington 坐标：
t′=t+2GMln∣r2GM−1∣,r′=r\begin{aligned} t' &= t+2GM\ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|,\quad r' = r \end{aligned}
坐标变换得到
dτ2=(1−2GMr)dt2−(1+2GMr)dr2−4GMrdrdt−r2dΩ2\text{d}\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\text{d}t^2-\left(1+\frac{2GM}{r}\right)\text{d}r^2 - \frac{4GM}{r}\text{d}r\text{d}t-r^2\text{d}\Omega^2
下一步还是找 dτ=0\text{d}\tau=0，也就是光锥.
drdt=−2GMr±11+2GMr⟹t+r=const. or t−r=4GMln∣1−r4GM∣\frac{\text{d}r}{\text{d}t} = \frac{\displaystyle{-\frac{2GM}{r}\pm1}}{\displaystyle{1+\frac{2GM}{r}}}\Longrightarrow t+r = \text{const.}\text{ or } t-r=4GM\ln\left|1-\frac{r}{4GM}\right|
Edington 坐标只能描述往里落的物体所满足的光锥. 反过来，如果要描述一个白洞，那么就要加上一个量把过去发散的坐标时补回来，也就是类似地
t′=t−2GMln∣r2GM−1∣,r′=rt' = t - 2GM\ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|,\quad r'=r
得到度规表达式为
dτ2=(1−2GMr)dt2−(1+2GMr)dr2+4GMrdrdt−r2dΩ2\text{d}\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\text{d}t^2-\left(1+\frac{2GM}{r}\right)\text{d}r^2 + \frac{4GM}{r}\text{d}r\text{d}t-r^2\text{d}\Omega^2
大家回去可以自己算一下这个坐标的光锥.
为了同时描述黑洞和白洞，引入 Kruskal 坐标：
{r>2GM{u=±(r2GM−1)1/2er/(4GM)cosht4GMv=±(r2GM−1)1/2er/(4GM)sinht4GMr<2GM{u=±(1−r2GM)1/2er/(4GM)sinht4GMv=±(1−r2GM)1/2er/(4GM)cosht4GM\left\{\begin{aligned} &r>2GM\left\{\begin{aligned} &u = \pm\left(\frac{r}{2GM}-1\right)^{1/2}e^{r/(4GM)}\cosh\frac{t}{4GM}\\\\ &v = \pm\left(\frac{r}{2GM}-1\right)^{1/2}e^{r/(4GM)}\sinh\frac{t}{4GM} \end{aligned}\right.\\\\ &r<2GM\left\{\begin{aligned} &u = \pm\left(1-\frac{r}{2GM}\right)^{1/2}e^{r/(4GM)}\sinh\frac{t}{4GM}\\\\ &v = \pm\left(1-\frac{r}{2GM}\right)^{1/2}e^{r/(4GM)}\cosh\frac{t}{4GM} \end{aligned}\right. \end{aligned}\right.
它的度规写成
dτ2=32G3M3re−r/(2GM)(dv2−du2)−r2dΩ2\text{d}\tau^2 = \frac{32G^3M^3}{r}e^{-r/(2GM)}(\text{d}v^2-\text{d}u^2)-r^2\text{d}\Omega^2
rr 为定值给出的是双曲线，当 r>2GMr>2GM 对应半长轴在 uu 轴上的双曲线、r<2GMr<2GM 对应半长轴在 vv 轴上的双曲线，而本性奇点 r=0r=0 对应两支特殊的双曲线 (u2−v2=−1u^2-v^2=-1). 等时线由 u/vu/v 给出，两条渐近线分别代表 t→±∞t\to\pm\infty.
光锥结构和 Minkowski 时空相似，是直线；但是过了视界对应的那两条直线就无法回头.
提示
关于「Kruskal 坐标是怎么想到的」：我们想要仔细研究视界，因此考虑放大视界周围的坐标，建立一个局域的坐标系. 这个坐标系叫作 Rindler Space，以视界处为原点来思考问题. 定义真实距离 ρ\rho，
ρ=∫2GMrgrr1/2(r′)dr′=∫2GMr(1−2GMr′)1/2dr′=r(r−2GM)+2GMsinh−1(r2GM−1)1/2≈22GM(1−2GM)\begin{aligned} \rho &= \int_{2GM}^r g_{rr}^{1/2}(r')\text{d}r' = \int_{2GM}^r\left(1-\frac{2GM}{r'}\right)^{1/2}\text{d}r' \\\\ &= \sqrt{r(r-2GM)}+2GM\sinh^{-1}\left(\frac{r}{2GM}-1\right)^{1/2}\\\\ &\approx 2\sqrt{2GM(1-2GM)} \end{aligned}
最后一步近似是在 r→2GMr\to2GM 处做的. 利用这个「真实距离」可以把度规改写成
dτ2=ρ2(dt4GM)2−dρ2−(2GM)2dΩ2\text{d}\tau^2 = \rho^2\left(\frac{\text{d}t}{4GM}\right)^2-\text{d}\rho^2-(2GM)^2\text{d}\Omega^2
这个形式可以被 reparameterize 为一个直角坐标，在 θ=0\theta=0 附近，有
x=2GMθcosϕ,y=2GMθsinϕ,ω=t4GMx=2GM\theta\cos\phi,\quad y=2GM\theta\sin\phi,\quad\omega=\frac{t}{4GM}
度规改写为
dτ2=ρ2dω2−dρ2−dx2−dy2\text{d}\tau^2 = \rho^2\text{d}\omega^2-\text{d}\rho^2-\text{d}x^2-\text{d}y^2
再改写，令 T=ρsinhωT=\rho\sinh\omega，Z=ρcoshωZ=\rho\cosh\omega，X=xX=x，Y=yY=y，则变为和 Minkowski 一样的形式，
dτ2=dT2−dX2−dY2−dZ2\text{d}\tau^2 = \text{d}T^2-\text{d}X^2-\text{d}Y^2-\text{d}Z^2
但是问题在于这里的 ρ\rho 一直是在视界外面的，也就是大于零的，有一部分没办法计算；所以要尝试推广到全空间. 上面推导给我们一个启示，就是如果出现 −dρ2+ρ2dt2-\text{d}\rho^2+\rho^2\text{d}t^2 的形式，就能够通过某种双曲函数的坐标变换变成 Minkowski 时空.
Back to Kruskal Coordinates：现在目标是 dτ2=F(R)(R2dω2−dR2)−r2dΩ2\text{d}\tau^2=F(R)(R^2\text{d}\omega^2-\text{d}R^2)-r^2\text{d}\Omega^2，也就是构造 Rindler Space. 对比 Schwarzschild 度规，
F(R)dR2=11−2GMrdr2,R2F(R)=16G2M2(1−2GMr)F(R)\text{d}R^2 = \frac{1}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}}\text{d}r^2,\quad R^2F(R) = 16G^2M^2\left(1-\frac{2GM}{r}\right)
其中第二个式子来源于度规第一项的对比.
求解
dR2R2=dr216G2M21(1−2GM/r)2⟹R=GMer⋆/(4GM),ω=t4GM\frac{\text{d}R^2}{R^2} = \frac{\text{d}r^2}{16G^2M^2}\frac{1}{(1-2GM/r)^2}\Longrightarrow R=GMe^{r^\star/(4GM)},\quad\omega=\frac{t}{4GM}
定义
U=−Re−ω,V=ReωU=-Re^{-\omega},\quad V=Re^\omega
就已经可以通过 dUdV\text{d}U\text{d}V 得到我们需要的 Rindler Space 的形式，dR2−R2dω2\text{d}R^2-R^2\text{d}\omega^2. 如果考虑 U+VU+V，U−VU-V，就会获得 sinh\sinh 和 cosh\cosh，得到我们最开始说的 Kruskal 坐标.
接下来说说 Kruskal 坐标的更进一步 —— 复变函数上我们知道全纯变换一定是保角的，也就是 U′(U)U'(U) 和 VV 无关 (且反之亦然)，那么变换就保角. 考虑变换
U′=arctanUGM,V′=arctanVGMU'=\arctan\frac{U}{GM},\quad V'=\arctan\frac{V}{GM}
在这个变换下无穷远点被拉近到 π/2\pi/2 位置.
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