R(1)μν−12ημνR(1)=8πG(Tμν+tμν)R^{(1)\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}R^{(1)} = 8\pi G(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})

其中后面的 tμνt^{\mu\nu} 仅仅是二阶部分，因为其包含的是 O(h2)\mathcal{O}(h^2) 的内容. 下面来看一下引力波的能量，也就是研究 t(2)μνt^{(2)\mu\nu} 的性质.

t(2)μν=18πG(−hμνηλρRλρ(1)+12ημνhλρRλρ(1)+R(2)μν−12ημνηλρRλρ(2))t^{(2)\mu\nu} = \frac{1}{8\pi G}\left(-h_{\mu\nu}\eta^{\lambda\rho}R^{(1)}_{\lambda\rho}+\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h^{\lambda\rho}R^{(1)}_{\lambda\rho}+R^{(2)\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\eta^{\lambda\rho}R^{(2)}_{\lambda\rho}\right)

对于真空情况，R(1)μν=0R^{(1)\mu\nu}=0 (因为能动张量的零阶是零)，只有二阶项：

t(2)μν=18πG(R(2)μν−12ημνηλρRλρ(2))t^{(2)\mu\nu} = \frac{1}{8\pi G}\left(R^{(2)\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\eta^{\lambda\rho}R^{(2)}_{\lambda\rho}\right)

我们之前解得的引力波振动是 hμν=eμνe+ikρxρ+e∗μνe−ikρxρh^{\mu\nu}=e^{\mu\nu}e^{+\text{i}k_\rho x^\rho}+e^{*\mu\nu}e^{-\text{i}k_\rho x^\rho}.

回忆对于电磁波的讨论，我们取的是一段时间的平均值作为能量密度，也就是

ρ=⟨12E⃗2+12B⃗2⟩\rho=\left\langle\frac{1}{2}\vec{E}^2+\frac{1}{2}\vec{B}^2\right\rangle

这时候电场和磁场都不能再用复数形式，我们需要取实部. 有：

⟨E⃗⋅E⃗⟩=E⃗0⋅E⃗0⟨e2ikμxμ+1+1+e−2ikμxμ⟩=2∣E⃗0∣2\begin{aligned} \langle\vec{E}\cdot\vec{E}\rangle &= \vec{E}_0\cdot\vec{E}_0\left\langle e^{2\text{i}k_\mu x^\mu}+1+1+e^{-2\text{i}k_\mu x^\mu}\right\rangle = 2|\vec{E}_0|^2 \end{aligned}

类似地，对于 R∼∂Γ∼∂2hR\sim\partial\Gamma\sim\partial^2h 这种东西 (当然这里是二阶，也就是类似 h∂2hh\partial^2h 和 ∂h∂h\partial h\partial h 这类的项)，分部积分之后会得到类似 ∂(h∂h)\partial(h\partial h) 的项. 对其取时间均值，其中的相因子会因为平均而被抹除，最终只剩下形如 ∂h∂h\partial h\partial h 的项.

⟨tμν⟩=kμkν8πG(∣e11∣2+∣e12∣2)=kμkν16πG(∣e+∣2+∣e×∣2)\langle t^{\mu\nu}\rangle = \frac{k^\mu k^\nu}{8\pi G}(|e_{11}|^2+|e_{12}|^2) = \frac{k^\mu k^\nu}{16\pi G}(|e_+|^2+|e_\times|^2)

化为 hh 的表达式，

⟨tμν⟩=kμkν32πG⟨∂μhρλ∂νhρλ⟩\langle t^{\mu\nu}\rangle = \frac{k^\mu k^\nu}{32\pi G}\langle\partial_\mu h_{\rho\lambda}\partial_\nu h^{\rho\lambda}\rangle

这是一个对度规的导数，也就是说，这个量一定不是一个张量，因为它和 Christoffel 符号都是度规导数，可以找一个参考系使得它们为零，如果是张量就会在任何参考系下都为零. 能量密度是 t00t^{00}，

ρGW=t00=132πG⟨h˙ijTTh˙ijTT⟩\rho_{GW} = t^{00} = \frac{1}{32\pi G}\langle\dot{h}_{ij}^{TT}\dot{h}_{ij}^{TT}\rangle

有能量守恒条件 ∂μtμν=0\partial_\mu t^{\mu\nu} =0，也就是

∫Vd3x(∂0t00+∂iti0)=0\int_V\text{d}^3x(\partial_0t^{00}+\partial_it^{i0}) = 0

能流为

dEVdt=−∫Vd3x⋅∂it0i=−∫SdA⋅nit0i\frac{\text{d}E_V}{\text{d}t} = -\int_V\text{d}^3x\cdot\partial_i t^{0i} = -\int_S\text{d}A\cdot n_it^{0i}

以 t0rt^{0r} 为例，要把 ∂\partial 作用在 hijTT(t−r)h_{ij}^{TT}(t-r) 上，其中 hijTT(t−r)=fij(t−r)/rh_{ij}^{TT}(t-r)=f_{ij}(t-r)/r. rr 是一个非常巨大的尺度，而 f∼eik(t−r)f\sim e^{\text{i}k(t-r)}，kk 是波长倒数，波长大约是双星距离尺度，因此 k≫1/rk\gg1/r，只把 ∂\partial 作用在 ff 上即可.

Fourier 分解：

h=∫dω2πe−iω(t−r)h~(ω)h = \int\frac{\text{d}\omega}{2\pi}e^{-\text{i}\omega(t-r)}\tilde h(\omega)

得到时间导数的平方为

h˙2=∫dfdf′(−2iπf)(−2iπf′)e−i[2π(f+f′)](t−r)h~(t)h~(t′)∫⟨h˙2⟩dt=∫dfdf′(2π)2f2δ(t+t′)∣h~(t)∣2=(2π)2∫df⋅f2∣h~(f)∣2\begin{aligned} \dot{h}^2 &= \int\text{d}f\text{d}f'(-2\text{i}\pi f)(-2\text{i}\pi f')e^{-\text{i}[2\pi(f+f')](t-r)}\tilde{h}(t)\tilde{h}(t')\\\\ \int\langle\dot{h}^2\rangle\text{d}t &= \int\text{d}f\text{d}f'(2\pi)^2f^2\delta(t+t')|\tilde{h}(t)|^2 = (2\pi)^2\int\text{d}f\cdot f^2|\tilde{h}(f)|^2 \end{aligned}

由此，可知谱函数

dFdAdf=π2Gf2(∣h~+∣2+∣h~×∣2)\frac{\text{d}F}{\text{d}A\text{d}f} = \frac{\pi}{2G}f^2(|\tilde{h}_+|^2+|\tilde{h}_\times|^2)

这里的 h∼10−21h\sim10^{-21}，是一个非常小的量. 对于一个体系，引力波的横向分量为

hijTT=2GrΛijkl(n^)Q¨kl(t−r)h_{ij}^{TT} = \frac{2G}{r}\Lambda_{ijkl}(\hat{n})\ddot{Q}_{kl}(t-r)

因此功率为

Pquad=G8π∫dΩ⋅Λijkl⟨Q...ijQ...kl⟩P_{\text{quad}} = \frac{G}{8\pi}\int\text{d}\Omega\cdot\Lambda_{ijkl}\left\langle\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{kl}\right\rangle

回忆一下投影算符的定义，是

Pij≡δij−n^in^j,Λijkl≡PikPjl−PijPklP_{ij}\equiv\delta_{ij}-\hat{n}_i\hat{n}_j,\quad \Lambda_{ijkl}\equiv P_{ik}P_{jl}-P_{ij}P_{kl}

实际上对 dΩ\text{d}\Omega 积分就是在变化各个 n^\hat{n} 的方向.

以 ∫dΩ(n^in^jn^kn^l)\displaystyle{\int\text{d}\Omega(\hat{n}_i\hat{n}_j\hat{n}_k\hat{n}_l)} 为例，待定系数 —— 这是一个轮换式，最后的结果一定是两两相同的形式，也就是

∫dΩ(n^in^jn^kn^l)=a(δijδkl+δikδjl+δilδjk)\int\text{d}\Omega(\hat{n}_i\hat{n}_j\hat{n}_k\hat{n}_l) = a(\delta_{ij}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})

而 ∫dΩ⋅cos⁡4θ=3a\displaystyle{\int\text{d}\Omega\cdot\cos^4\theta}=3a (把 i,j,k,li,j,k,l 全部取同一个方向). 因此解得 a=4π/15a = 4\pi/15.

上面那个 quadropole (非相对论四极子) 的功率为

Pquad=G5⟨Q...ijQ...kl⟩P_{\text{quad}} = \frac{G}{5}\left\langle\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{kl}\right\rangle

For (m1,x⃗1),(m2,x⃗2)(m_1,\vec{x}_1),(m_2,\vec{x}_2)，引入总质量 mm 和约化质量 μ\mu，质心坐标 x⃗cm\vec{x}_{cm} 和相对坐标 x⃗0\vec{x}_0. 其二阶矩为

Mij=m1x1ix1j+m2x2ix2j=mxcmixcmj+μx0ix0jM^{ij} = m_1x_1^ix_1^j+m_2x_2^ix_2^j = mx_{cm}^ix_{cm}^j+\mu x_0^ix_0^j

只有相对运动项才有三阶导数 (质心没有动). 定义一个四极子

Θij=μx0ix0j−13μx02δij\Theta^{ij} = \mu x_0^ix_0^j-\frac{1}{3}\mu x_0^2\delta^{ij}

假设是圆周运动的 (后面说明此假设合理)，那么 (在 xx - yy 平面上运动)

x0(t)=Rcos⁡(ωst+π2),y0(t)=Rsin⁡(ωst+π2)x_0(t) = R\cos\left(\omega_st+\frac{\pi}{2}\right),\quad y_0(t) = R\sin\left(\omega_st+\frac{\pi}{2}\right)

算得

M11=μR21−cos⁡2ωst2,M22=μR21+cos⁡2ωst2,M12=−12μR2sin⁡2ωstM_{11}=\mu R^2\frac{1-\cos2\omega_st}{2},\quad M_{22}=\mu R^2\frac{1+\cos2\omega_st}{2},\quad M_{12}=-\frac{1}{2}\mu R^2\sin2\omega_st

引力波的角频率是 2ωs2\omega_s 而不是一倍.

功率的角分布结果为

dPdΩ=2Gμ2R4ωs6πg(θ),g(θ)=(1+cos⁡2θ2)2+cos⁡2θ\frac{\text{d}P}{\text{d}\Omega} =\frac{2G\mu^2R^4\omega_s^6}{\pi}g(\theta),\quad g(\theta) = \left(\frac{1+\cos^2\theta}{2}\right)^2+\cos^2\theta

四极子总功率

Pquadtot=325Gμ2R4ωs6=110Gμ2R4(2ωs)6P_{\text{quad}}^{\text{tot}} = \frac{32}{5}G\mu^2R^4\omega_s^6 = \frac{1}{10}G\mu^2R^4(2\omega_s)^6

利用 Keppler's law III，ωs=Gm/R3\omega_s = Gm/R^3，可以把 M¨0\ddot{M}_0 写成

M¨0=2G2/3[(μ3m2)1/5]5/3ωs2/3\ddot{M}_0 = 2G^{2/3}\left[(\mu^3m^2)^{1/5}\right]^{5/3}\omega_s^{2/3}

定义 (μ3m2)1/5(\mu^3m^2)^{1/5} 为啁啾质量 (chirp mass) McM_c，也就是把所有质量因子放在一起，那么最后的总功率可以写成

Pquadtot=325G(GMcωGW2)10/3,ωGW=2ωsP_{\text{quad}}^{\text{tot}} = \frac{32}{5G}\left(\frac{GM_c\omega_{GW}}{2}\right)^{10/3},\quad \omega_{GW} = 2\omega_s

这是一个概念上的小巧思.

系统总能量

Eorbit=−Gm1m22R,E˙=−PquadtotE_{\text{orbit}} =-\frac{Gm_1m_2}{2R},\quad \dot{E} = -P_{\text{quad}}^{\text{tot}}

得到关于引力波角频率升高的微分方程：

ω˙GW=125⋅21/3(GMc)5/3ωGW11/3\dot{\omega}_{GW} = \frac{12}{5}\cdot 2^{1/3}(GM_c)^{5/3}\omega_{GW}^{11/3}

这也是 'chirp' 这个名字的来源，「啁啾」就是变频的意思. 另外，

M¨11=2μR2ωs2cos⁡2ωst=−M¨22,M¨12=2μR2ωs2sin⁡2ωst\ddot{M}_{11} = 2\mu R^2\omega_s^2\cos2\omega_st = -\ddot{M}_{22},\quad \ddot{M}_{12}=2\mu R^2\omega_s^2\sin2\omega_st

这里的矩都是 M¨∼R2ωs2∼R−1\ddot{M}\sim R^2\omega_s^2\sim R^{-1}，因此并和过程中随着黑洞之间距离的缩小，振幅会越来越大，也就是 merge 过程中引力波图像振幅上升阶段的原理. 当然，非相对论理论不能 numerically 解释并和事件之后的 ring down 过程 (振幅衰减).

如果双星轨道为椭圆：那么结果是

dadt=645G3μm2a31(1−e2)7/2(1+7324e2+3796e4)dedt=−30415G3μm2a4e(1−e2)5/2(1+121304e2)\begin{aligned} \frac{\text{d}a}{\text{d}t} &= \frac{64}{5}\frac{G^3\mu m^2}{a^3}\frac{1}{(1-e^2)^{7/2}}\left(1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4\right)\\\\ \frac{\text{d}e}{\text{d}t} &= -\frac{304}{15}\frac{G^3\mu m^2}{a^4}\frac{e}{(1-e^2)^{5/2}}\left(1+\frac{121}{304}e^2\right) \end{aligned}

也就是偏心率会很快地减小到零，引力波辐射会使得轨道变圆 —— 当我们能观测到引力波时，一般这个体系的轨道已经变圆了.

下节课我们说引力波的探测. 我们知道这件事情由 Michaelson 干涉仪来完成，在这个系中，只要是所谓「自由落体」的，那么镜子的坐标就可以说完全不改变，只要考虑光程的变化即可.