统计的基本概念

宏观量分为两种，一种是像内能一样，有微观对应的量，它们是微观对应量的统计平均值；而有一些是像温度、压强或者熵一样，没有微观对应的，只能通过热力学与另一类热力学宏观量来产生联系.

我们在统计力学中用的是古典概率论中的几率概念，也就是所谓的古典概型. 互斥事件有所谓的加法定理，独立事件有乘法定理：

PA+B=lim⁡N→∞NA+NBN=PA+PB,PA⋅B=lim⁡N→∞NAN⋅NBN=PA⋅PBP_{A+B} = \lim_{N\to\infty}\frac{N_A+N_B}{N} = P_A+P_B,\quad P_{A\cdot B} = \lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N}\cdot\frac{N_B}{N} = P_A\cdot P_B

这里必须要和 天体物理统计方法 里的 Bayes 统计相区分，这里讲的是以频率为核心的概率论. (虽然我也不知道为什么一定要在统计力学里用这样的观点)

同时还有涨落的概念，一般定义为二阶矩 x2‾−x‾2\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}.

二项分布：

PN(n)=N!n!(N−n)!pnqN−nP_N(n) = \frac{N!}{n!(N-n)!}p^nq^{N-n}

二项分布来自于一维的固定步长随机行走. 当 N≫1,p≪1N\gg1, p\ll1 时，二项分布趋向于 Poisson 分布，有

PN(n)=N!n!(N−n)!pnqN−n≈Nnn!pnqN−nP_N(n) = \frac{N!}{n!(N-n)!}p^nq^{N-n} \approx \frac{N^n}{n!}p^nq^{N-n}

对 qN−nq^{N-n} 取对数，

ln⁡qN−n=(N−n)ln⁡(1−p)≈−Np⟹qN−n≈e−Np=e−n‾\ln q^{N-n} = (N-n)\ln(1-p) \approx-Np\Longrightarrow q^{N-n} \approx e^{-Np} =e^{-\overline{n}}

因此 Poisson 分布为

PN(n)=n‾nn!e−n‾P_N(n) =\frac{\overline{n}^n}{n!}e^{-\overline{n}}

当 p≈q,N≫1p\approx q, N\gg1 时趋向于 Gauss 分布，仍然是两边取对数，这一次用到 Stirling 公式，

ln⁡pN(n)≈N(ln⁡N−1)−n(ln⁡n−1)−(N−n)[ln⁡(N−n)−1]+nln⁡p+(N−n)ln⁡q\ln p_N(n) \approx N(\ln N-1) - n(\ln n-1) - (N-n)[\ln(N-n)-1] +n\ln p + (N-n)\ln q

对 ln⁡pN(n)\ln p_N(n) 求关于 nn 的极值，并在这附近展开到二阶项，得到分布

pN(n)≈12πσ2e−(n−n‾)2/2σ2,σ2=Npqp_N(n)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(n-\overline{n})^2/2\sigma^2},\quad \sigma^2=Npq

近独立粒子体系

• f13db-feat(note): update note于 2026/3/18