Bose - Einstein 凝聚

以液 4He^4\text{He} 为例. 这是一种 boson，相变温度在 2.17 K2.17\text{ K} 左右，在 T>TcT>T_c 时为正常液体 HeI\text{HeI}，相变之后变为超流体 HeII\text{HeII}. 超流态有很多独特的性质，比如喷泉效应和量子化的涡旋.

二流体模型：认为超流体是正常液体和超流体的混合，总的密度为 ρ=ρn+ρs\rho=\rho_n+\rho_s.

λ\lambda 相变 (超流相变) 和 BEC 是类似的，但是并不相同，BEC 的峰值只有有限高，而液 He\text{He} 的峰值无限高；同时，临界温度的数值不同，BEC 模型在液氦上给出的临界温度是 3.13 K3.13\text{ K}.

光子气体

对于 T,VT,V 给定的系统，光子有

ε=hν,p=hνc,ε=pc\varepsilon=h\nu,\quad p=\frac{h\nu}{c},\quad \varepsilon=pc

光子之间并没有可观的相互作用，自旋是 11，简并度为 22 (两个方向的偏振).

理想黑体定义为：能够完全吸收照射到它上面的各种波长的电磁波的物体. 一般来说在实践上是用一个内部铺满高吸收率材料的不规则空腔，空腔上开的一个小口可以视为一个足够理想的黑体. VV 足够大时，准连续能级，

gsdωh31eβε−1\frac{g_s\text{d}\omega}{h^3}\frac{1}{e^{\beta\varepsilon}-1}

把态密度积分，得到频率分布

g(ν)dν=gs4πVc3ν2dν⟹n(ν)dν=gs4πVc3ν2dνeβhν−1g(\nu)\text{d}\nu = g_s\frac{4\pi V}{c^3}\nu^2\text{d}\nu\Longrightarrow n(\nu)\text{d}\nu=g_s\frac{4\pi V}{c^3}\frac{\nu^2\text{d}\nu}{e^{\beta h\nu}-1}

而能量分布就是

U(ν)dν=n(ν)hνdν=8πVhν3c3dνeβhν−1U(\nu)\text{d}\nu = n(\nu)h\nu\text{d}\nu = \frac{8\pi Vh\nu^3}{c^3}\frac{\text{d}\nu}{e^{\beta h\nu}-1}

这就是 Planck 定律.

对于低频高温极限，hν≪kBTh\nu\ll k_BT，这时能量分布化为

U(ν)dν=8πVkBTν2c3dνU(\nu)\text{d}\nu = \frac{8\pi Vk_BT\nu^2}{c^3}\text{d}\nu

这是 Rayleigh - Jeans 定律；对于高频低温极限，hν≫kBTh\nu\gg k_BT，

U(ν)dν=8πVhν3c3e−βhνdνU(\nu)\text{d}\nu = \frac{8\pi Vh\nu^3}{c^3}e^{-\beta h\nu}\text{d}\nu

这是 Wien 定律.

积分能量之后得到辐射通量密度为

J=σT4,σ=2π5kB415h3c2J = \sigma T^4,\quad \sigma = \frac{2\pi^5k^4_B}{15h^3c^2}

如果对能量分布求极值，那么可以得到 Wein 位移定律，

λmT=hc4.96kB\lambda_mT = \frac{hc}{4.96k_B}

可以测得 Planck 常数，这种方法的测量值与现代用量子 Hall 效应等高级手段测量得到的数值相差仅仅 4%4\%.

热力学上，光子气体的巨配分函数为

ln⁡Ξ(β,V)=−∫0∞g(ε)dε⋅ln⁡(1−e−βε)=8πV3(hc)3β3∫0∞x3dxex−1\ln \Xi(\beta,V) = -\int_0^\infty g(\varepsilon)\text{d}\varepsilon\cdot\ln(1-e^{-\beta\varepsilon}) = \frac{8\pi V}{3(hc)^3\beta^3}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1}

后面的积分是可以严格得到的，最终结果为

ln⁡Ξ(β,V)=8π5V45(hc)3β3\ln\Xi(\beta,V) = \frac{8\pi^5V}{45(hc)^3\beta^3}

• f7e7b-feat(note): update note于 2026/4/29