Resonance

以 3:23:2 为例，resonance angle 是 ϕ12=3λ2−2λ1−ω2\phi_{12}=3\lambda_2-2\lambda_1-\omega_2 (其中 ω2\omega_2 是第二颗行星轨道的偏角，λ\lambda 是两颗星的位置角度). 它们之间夹角的变化率：

⟨ϕ˙12⟩=⟨3n2−2n1−ω˙2⟩≈0\langle\dot{\phi}_{12}\rangle=\langle 3n_2-2n_1-\dot{\omega}_2\rangle\approx 0

角度还可以写成

ϕ12=2(λ2−λ1)+(λ2−ω2)\phi_{12}=2(\lambda_2-\lambda_1)+(\lambda_2-\omega_2)

如果偏心率不是很大，那么 λ2≈λ1\lambda_2\approx\lambda_1，而第二项是所谓的 conjunction M2M_2. 这个 λ\lambda 是以近日点作为起点计算的转角，因此当 ϕ12=0\phi_{12}=0 时 (resonance 发生)，两颗星体都在近日点，也就是轨道最靠近的位置.

上面减去的是第二颗星轨道的偏角，所以也可以说是 ϕ12,2\phi_{12,2}；下面研究 ϕ12,1\phi_{12,1}，也就是

ϕ12,1=3λ2−2λ1−ω1=3(λ2−λ1)+(λ1−ω1)\phi_{12,1} = 3\lambda_2-2\lambda_1-\omega_1=3(\lambda_2-\lambda_1)+(\lambda_1-\omega_1)

仍然是 0+M10+M_1. resonance angle 一般是不会变化的，是一个守恒量.

在 conjunction point 附近，内部的行星在向后吸引靠外的那颗行星，因此外侧的行星失去一些角动量；但是失去角动量意味着速度更快了，所以新的一次 conjunction 会延迟发生.

resonance forcing equations：(for j+1:jj+1:j resonance)

a˙=2(j+δ1)Gejq1n1aesin⁡ϕrese˙=Gejq1n1sin⁡ϕresϕ˙res=−Δnres+Gejq1n1cos⁡ϕrese\begin{aligned} &\dot{a} = 2(j+\delta_1)G_e^jq_1n_1ae\sin\phi_{\text{res}}\\\\ &\dot{e} = G_e^jq_1n_1\sin\phi_{\text{res}}\\\\ &\dot{\phi}_{\text{res}} = -\Delta n_{\text{res}}+G_e^j\frac{q_1n_1\cos\phi_{\text{res}}}{e} \end{aligned}

当然这些计算是非常 hardcore 的力学理论，现在很多人们习惯直接模拟 NN-body 的 Newton 方程，然后强行解出这些问题.

3-Body Problem

我们只讨论 circular restricted 3-body problem，也就是两体相互绕转、第三体质量很小的限制性三体问题.

坐标系中心建立在两个更重的天体的质心位置，同时我们认为这两个天体的轨道偏心率是 00. 于是，

d2rdt2=r⃗¨+ω⃗×r⃗˙+ω×(r⃗˙+ω⃗×r⃗)⟹r⃗¨=(−2ω⃗×r⃗˙‾Coriolis)+(−ω⃗×(ω⃗×r⃗‾)centrifugal)−∇ϕ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}&=\ddot{\vec{r}}+\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}+\omega\times(\dot{\vec{r}}+\vec{\omega}\times\vec{r})\\\\ \Longrightarrow \ddot{\vec{r}} &= (\underset{\text{Coriolis}}{\underline{-2\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}}})+(\underset{\text{centrifugal}}{\underline{-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}})})-\nabla\phi \end{aligned}

在旋转系中，有 Coriolis 力和离心力. 现在依旧是两边同时点乘一个 r⃗˙\dot{\vec{r}}，得到

12ddt(r˙2)=0−(ω⃗×r⃗)⋅(r⃗˙×ω⃗)−r⃗˙⋅∇ϕ=12ddt(ω⃗×r⃗)2−dϕdt\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot{r}^2\right) &= 0-(\vec{\omega}\times\vec{r})\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{\omega})-\dot{\vec{r}}\cdot\nabla\phi = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)^2-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

得到一个运动积分，

J=12r2+ϕ−12(ω⃗×r⃗)2\mathcal{J} = \frac{1}{2}r^2+\phi-\frac{1}{2}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2

这被称为 Jacobian energy. 我们可以定义有效势能为 ϕeff=ϕ−12(ω⃗×r⃗)2\displaystyle{\phi_{\text{eff}}=\phi-\frac{1}{2}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2}.

定义 r12=dr_{12}=d (fixed)，r13=r1r_{13}=r_1，r23=r2r_{23}=r_2，第三颗天体到两颗大天体质心的距离为 rr. 这时候我们可以写出具体的有效势能，

ϕeff=−Gm1r1−Gm2r2−12ω2r2\phi_{\text{eff}} = -\frac{Gm_1}{r_1}-\frac{Gm_2}{r_2}-\frac{1}{2}\omega^2r^2

小天体 xx 方向受力为

ϕeff,x=−Gm1r13(x−x1)−Gm2r23(x−x2)−ω2x\phi_{\text{eff},x}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}(x-x_1)-\frac{Gm_2}{r_2^3}(x-x_2)-\omega^2x

而且我们知道 x1=−m2m1+m2d\displaystyle{x_1=-\frac{m_2}{m_1+m_2}d}，x2=m1m1+m2d\displaystyle{x_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}d}. 同理，yy 方向是

ϕeff,y=−Gm1r13y−Gm2r23y−ω2y\phi_{\text{eff},y}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}y-\frac{Gm_2}{r_2^3}y-\omega^2y

先看 yy 方向平衡. 有两种情况：第一种是简单的 y=0y=0；另一种是 r1=r2=dr_1=r_2=d，也就是三者形成等边三角形 (这里可以直接解出来两个 Lagrange 点，L4L_4 和 L5L_5).

对于 y=0y=0，xx 方程为

−Gm1∣x−x1∣3(x−x1)−Gm2∣x−x2∣3(x−x2)−ω2x=0-\frac{Gm_1}{|x-x_1|^3}(x-x_1)-\frac{Gm_2}{|x-x_2|^3}(x-x_2)-\omega^2x=0

有三个解.

• a9d65-feat(note): update & update links于 2026/5/22