这时候的 Hamiltonian 是 H(t)=H0+H′(t)H(t)=H_0+H'(t). 我们只做比较简单的问题，考虑一个二能级系统的含时微扰问题. 总的波函数是

Ψ(t)=ca(t)ψae−iEat/ℏ+cb(t)ψbe−iEbt/ℏ\Psi(t)=c_a(t)\psi_ae^{-\text{i}E_at/\hbar}+c_b(t)\psi_be^{-\text{i}E_bt/\hbar}

(类似于常数变易法.) 代入 Schrödinger 方程，得到

c˙a(t)=−iℏ(Haa′ca+Hab′ei(Ea−Eb)t/ℏcb)c˙b(t)=−iℏ(Hbb′cb+Hba′e−i(Ea−Eb)t/ℏca)\begin{aligned} &\dot{c}_a(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}(H'_{aa}c_a+H'_{ab}e^{\text{i}(E_a-E_b)t/\hbar}c_b)\\\\ &\dot{c}_b(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}(H'_{bb}c_b+H'_{ba}e^{-\text{i}(E_a-E_b)t/\hbar}c_a) \end{aligned}

令 ω≡(Eb−Ea)/ℏ\omega \equiv (E_b-E_a)/\hbar. 对于大多数物理上有价值的问题，对角元都是零，所以方程化为

c˙a=−iℏHab′e−iωtcbc˙b=−iℏHba′eiωtca\begin{aligned} &\dot{c}_a = -\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ab}e^{-\text{i}\omega t}c_b\\\\ &\dot{c}_b = -\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ba}e^{\text{i}\omega t}c_a \end{aligned}

因为是微扰，所以解法是用展开的方式：我们知道 ca(0)=1c_a^{(0)}=1，cb(0)=0c_b^{(0)}=0 (最低阶情况下就在 aa 能级上)，然后 cb(1)c_b^{(1)} 由 ca(0)c_a^{(0)} 给出、ca(1)c_a^{(1)} 由 cb(0)c_b^{(0)} 给出…… 由这里可以计算 a→ba\to b 跃迁的一个概率：

Pa→b(t)=∣cb(1)(t)∣2=1ℏ2∣∫0tHab′(t′)eiωt′dt′∣2P_{a\to b}(t)=|c_b^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^tH'_{ab}(t')e^{\text{i}\omega t'}\text{d}t'\right|^2

在 t→∞t\to\infty 的长时近似下，实际上是一个 Fourier 变换，不为零的条件是 Hab′H'_{ab} 中含有和 ω\omega 共振的频率成分.

Einstein 的辐射理论实际上基于含时微扰.

Fermi's Golden Rule：对于大量的粒子系统，

Γt→f=2πℏ∣⟨f∣H′∣t⟩∣2ρ(Ef)\Gamma_{t\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle f|H'|t\rangle|^2\rho(E_f)

也就是 tt 这个态可以跳到任意一个 ff 态，tt 态寿命由上式决定，其中 ρ\rho 是态密度. 这里并不是二能级的系统，但是所有态之间都是没有相干性的，只有 tt 和它们分别构成二能级系统.

认为辐射是真空场的含时微扰，H′=−qr⃗⋅E⃗(t)H'=-q\vec{r}\cdot\vec{E}(t). 电磁场态密度是

ρ(ω)=ω2π2c3\rho(\omega)=\frac{\omega^2}{\pi^2c^3}

• 8390e-feat(note): add note于 2025/12/16