微扰论的方程：

c˙a(t)=−iℏHab′(t)e−iω0tcb(t),c˙b(t)=−iℏHba′(t)e+iω0tca(t)\dot{c}_a(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ab}(t)e^{-\text{i}\omega_0t}c_b(t),\quad \dot{c}_b(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ba}(t)e^{+\text{i}\omega_0t}c_a(t)

这实际上是一种半经典的近似，因为对于量子态的描写是量子的，但是对于外界作用的描写使用 Hamiltonian，这是经典的描述.

假设驱动是共振的，ωL=ω0\omega_L=\omega_0，Hab′∝cos⁡(ωLt)H'_{ab}\propto\cos(\omega_Lt). 这时候可以把 c˙a(t)\dot{c}_a(t) 写为

c˙a(t)≡iΩ2cb(t)\dot{c}_a(t)\equiv\text{i}\frac{\Omega}{2}c_b(t)

(Ω\Omega 称为 Rabi 频率.) 同理，

c˙b(t)=−iΩ2ca(t)\dot{c}_b(t) = -\text{i}\frac{\Omega}{2}c_a(t)

当 ωL−ω0≠0\omega_L-\omega_0\neq0，出现失谐，

c˙a(t)=iΩ2cb(t)ei(ωL−ω0)t,c˙b(t)=−iΩ2ca(t)e−i(ωL−ω0)t\dot{c}_a(t)=\text{i}\frac{\Omega}{2}c_b(t)e^{\text{i}(\omega_L-\omega_0)t},\quad \dot{c}_b(t)=-\text{i}\frac{\Omega}{2}c_a(t)e^{-\text{i}(\omega_L-\omega_0)t}

在完全共振时的解是

ca(t)=ca(0)cos⁡∣Ω∣t2+icb(0)sin⁡∣Ω∣t2cb(t)=cb(0)cos⁡∣Ω∣t2−ica(0)sin⁡∣Ω∣t2\begin{aligned} &c_a(t) = c_a(0)\cos\frac{|\Omega|t}{2}+\text{i}c_b(0)\sin\frac{|\Omega|t}{2}\\\\ &c_b(t) = c_b(0)\cos\frac{|\Omega|t}{2}-\text{i}c_a(0)\sin\frac{|\Omega|t}{2} \end{aligned}

表现为一种旋转.

变分法：将任意一个波函数按照正交完备基展开，

ψ=∑ncnψn\psi=\sum_nc_n\psi_n

则 Hamiltonian 的期望值

⟨H⟩=⟨∑ncnψn∣H∣∑ncnψn⟩=∑n⟨ψn∣H∣ψn⟩\langle H\rangle = \left\langle\sum_nc_n\psi_n\right|H\left|\sum_nc_n\psi_n\right\rangle = \sum_n\langle\psi_n|H|\psi_n\rangle

变分考虑的是一个波函数的变化 ψ+δψ\psi+\delta\psi，

⟨ψ+δψ∣H∣ψ+δψ⟩−⟨ψ∣H∣ψ⟩\langle\psi+\delta\psi|H|\psi+\delta\psi\rangle - \langle\psi|H|\psi\rangle

如果变化不造成 Hamiltonian 期望值的变化，那么这就处于一个稳定值. 另外，ψ+δψ\psi+\delta\psi 必须要是归一的，这里可以通过 δψ\delta\psi 与 ψ\psi 正交来实现.

/Example/

对于一个 δ\delta 形式的势能：

H=−ℏ22md2dx2−αδ(x)H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}-\alpha\delta(x)

用一个 Gauss 型的波函数作为试探波函数：

ψ(x)=Ae−bx2\psi(x)=Ae^{-bx^2}

积分得到

⟨H⟩=ℏ2b2m−α2bπ\langle H\rangle = \frac{\hbar^2b}{2m}-\alpha\sqrt{\frac{2b}{\pi}}

对 bb 这个参数求导，

d⟨H⟩db=ℏ22m−α122πb−1/2=0\frac{\text{d}\langle H\rangle}{\text{d}b} = \frac{\hbar^2}{2m}-\alpha\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\pi}}b^{-1/2}=0

解得取极值时，b=2m2α2πℏ4b = \displaystyle{\frac{2m^2\alpha^2}{\pi\hbar^4}}. 这时候最小的 Hamiltonian 期望值为

⟨H⟩min⁡=−mα2πℏ2\langle H\rangle_{\min} = -\frac{m\alpha^2}{\pi\hbar^2}

对比准确结果 E=−mα22ℏ2E=\displaystyle{-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}}，表现出这已经是一个比较精确的近似.

• 6de2b-feat(note): add note于 2025/12/17