今天讲 Green 函数.

Green 函数

点电荷的电荷密度分布写为 ρ(r⃗)=4πδ(0)\rho(\vec{r})=4\pi\delta(0). 有了点电荷的电势之后，可以利用点电荷的电势来叠加出任意带电体的电势 —— 当然仅适用于无界空间.

如果我们研究的问题是有界的，那么就要使用更加一般的 Green 函数. 对于下面一个 Poisson 方程的定解问题：

∇2u(r⃗)=−1ε0ρ(r⃗)u∣Σ=f(Σ)\begin{aligned} &\nabla^2u(\vec{r})=-\frac{1}{\varepsilon_0}\rho(\vec{r})\\ &u\big|_\Sigma=f(\Sigma) \end{aligned}

这里是第一类边界条件，而不是齐次边界条件. 我们考虑把 u(r⃗)u(\vec{r}) 用 f(Σ)f(\Sigma)、ρ(r⃗)\rho(\vec{r}) 和 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}') 表示出来.

/Theorem/ (Green 第二公式)

∭V[u∇2v−v∇2u]d3r⃗=∬Σ[u∇v−v∇u]⋅dΣ⃗\iiint_V\left[u\nabla^2v-v\nabla^2u\right]\text{d}^3\vec{r}=\iint_\Sigma\left[u\nabla v-v\nabla u\right]\cdot\text{d}\vec{\Sigma}

另外还有 Green 第一公式

∭Vu∇2vd3r⃗=∬Σu∇v⋅dΣ⃗−∭V∇u⋅∇vd3r⃗\iiint_Vu\nabla^2v\text{d}^3\vec{r}=\iint_\Sigma u\nabla v\cdot\text{d}\vec{\Sigma}-\iiint_V\nabla u\cdot\nabla v\text{d}^3\vec{r}

这个公式正是分部积分在三维下的推广，不过并不常用.

把 Green 函数 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}') 作为 vv 代入 Green 第二公式，其中 Green 函数是下述问题的解：

∇2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0δ(r⃗−r⃗′)\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}') = -\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\vec{r}-\vec{r}')

代入得：

−1ε0[u(r⃗′)−∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗]=∬Σ[u(r⃗)∇G(r⃗;r⃗′)−G(r⃗;r⃗′)∇u(r⃗)]⋅dΣ⃗-\frac{1}{\varepsilon_0}\left[u(\vec{r}')-\iiint_V G(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}\right]=\iint_\Sigma[u(\vec{r})\nabla G(\vec{r};\vec{r}')-G(\vec{r};\vec{r}')\nabla u(\vec{r})]\cdot\text{d}\vec{\Sigma}

化简可以得到 u(r⃗′)u(\vec{r}')，如下

u(r⃗′)=∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗−ε0∬Σ[u(r⃗)∇G(r⃗;r⃗′)−G(r⃗;r⃗′)∇u(r⃗)]⋅dΣ⃗\begin{aligned} u(\vec{r}')&=\iiint_VG(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}-\varepsilon_0\iint_\Sigma[u(\vec{r})\nabla G(\vec{r};\vec{r}')-G(\vec{r};\vec{r}')\nabla u(\vec{r})]\cdot\text{d}\vec{\Sigma} \end{aligned}

为了将积分做出来，我们需要指定 Green 函数的边界条件 (之前并未指定！). 取下述边界条件：

G(r⃗;r⃗′)∣Σ=0G(\vec{r};\vec{r}')\big|_{\Sigma}=0

最后得到

u(r⃗′)=∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗−ε0∬Σf(Σ)∇G(r⃗;r⃗′)∣Σ⋅dΣ⃗u(\vec{r}')=\iiint_VG(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}-\varepsilon_0\iint_\Sigma f(\Sigma)\nabla G(\vec{r};\vec{r}')\big|_\Sigma\cdot\text{d}\vec{\Sigma}

交换 r⃗,r⃗′\vec{r},\vec{r}'：

u(r⃗)=∭V′G(r⃗′;r⃗)ρ(r⃗′)d3r⃗′−ε0∬Σ′f(Σ′)∂G(r⃗′;r⃗)∂n′∣Σ′dΣ′u(\vec{r})=\iiint_{V'}G(\vec{r}';\vec{r})\rho(\vec{r}')\text{d}^3\vec{r}'-\varepsilon_0\iint_{\Sigma'}f(\Sigma')\left.\frac{\partial G(\vec{r}';\vec{r})}{\partial n'}\right|_{\Sigma'}\text{d}\Sigma'

如果是第二类边界条件，那么相应地我们要取 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}') 的边界条件应该是：

∂G(r⃗;r⃗′)∂n∣Σ=0\left.\frac{\partial G(\vec{r};\vec{r}')}{\partial n}\right|_\Sigma = 0

但是如果是这样就会导致 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}') 不满足自身的方程 (也就是，有电荷但是电通量为零，违反 Gauss 定理). 这时候引入广义 Green 函数：

{∇2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0[δ(r⃗−r⃗′)−cu0(r⃗)]∂G(r⃗;r⃗′)∂n^∣Σ=0\left\{\begin{aligned} &\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}') = -\frac{1}{\varepsilon_0}\left[\delta(\vec{r}-\vec{r}')-cu_0(\vec{r})\right]\\ &\left.\frac{\partial G(\vec{r};\vec{r}')}{\partial\hat{n}}\right|_\Sigma = 0 \end{aligned}\right.

这里有

∭Vu0(r⃗)[δ(r⃗−r⃗′)−cu0(r⃗)]d3r⃗=0⟹c(r⃗′)=u0(r⃗′)∭Vu02(r⃗)d3r⃗\iiint_Vu_0(\vec{r})\left[\delta(\vec{r}-\vec{r}')-cu_0(\vec{r})\right]\text{d}^3\vec{r}=0\Longrightarrow c(\vec{r}')=\frac{u_0(\vec{r}')}{\displaystyle{\iiint_Vu_0^2(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}}}

还是可以用 Green 公式算出最终解. 当然考试不考第二类边界条件的情况.

不同维度下也有 Green 函数，对于二维情况，无界区域的 Poisson 方程 Green 函数满足

[∂2∂x2+∂2∂y2]G(x,y;x′,y′)=−1ε0δ(x−x′)δ(y−y′)\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]G(x,y;x',y')=-\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(x-x')\delta(y-y')

解的形式是

G(x,y;x′,y′)=−12πε0ln⁡(x−x′)2+(y−y′)2+CG(x,y;x',y')=-\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\ln\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}+C

另外，Green 函数具有对称性：G(r⃗;r⃗′)=G(r⃗′;r⃗)G(\vec{r};\vec{r}')=G(\vec{r}';\vec{r}).

调和函数

下面讨论调和方程和调和函数. 调和方程为

∇2u(r⃗)=0\nabla^2u(\vec{r})=0

其解为调和函数. 我们已经知道 ∇2G(r⃗;r⃗′)=−δ(r⃗−r⃗′)\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}')=-\delta(\vec{r}-\vec{r}') 的解是

G(r⃗;r⃗′)=14π∣r⃗−r⃗′∣G(\vec{r};\vec{r}')=\frac{1}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}

两个方程交叉相乘再相减，再利用 Green 公式，

u(r⃗′)=∬Σu(r⃗)dΣr4π∣r⃗−r⃗′∣2+∬Σ∇u⋅dΣ⃗4π∣r⃗−r⃗′∣u(\vec{r}')=\iint_\Sigma\frac{u(\vec{r})\text{d}\Sigma_r}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|^2}+\iint_\Sigma\frac{\nabla u\cdot\text{d}\vec{\Sigma}}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}

取 Σ\Sigma 是以 r⃗′\vec{r}' 为球心、半径 RR 的球面，那么

u(r⃗′)=14πR2∬Σu(r⃗)dΣ+14πR∬∇u⋅dΣ⃗u(\vec{r}')=\frac{1}{4\pi R^2}\iint_\Sigma u(\vec{r})\text{d}\Sigma+\frac{1}{4\pi R}\iint\nabla u\cdot\text{d}\vec{\Sigma}

后一项为零 (无通量)，得到调和函数在某一点的平均值公式：

u(r⃗′)=14πR2∬Σu(r⃗)dΣ,Σ:∣r⃗−r⃗′∣=Ru(\vec{r}')=\frac{1}{4\pi R^2}\iint_\Sigma u(\vec{r})\text{d}\Sigma,\quad \Sigma : |\vec{r}-\vec{r}'|=R

三维无界 Helmholtz 方程的 Green 函数

求三维无界空间 Helmholtz 方程的 Green 函数：

∇2G(r⃗;r⃗′)+k2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0δ(r⃗−r⃗′),k>0\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}')+k^2G(\vec{r};\vec{r}')=-\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\vec{r}-\vec{r}'),\quad k>0

先平移原点到 r⃗′\vec{r}'，之后定义 G(r⃗;r⃗′)≡g(ξ,η,ζ)G(\vec{r};\vec{r}')\equiv g(\xi,\eta,\zeta)：

∇ξ,η,ζ2g(ξ,η,ζ)+k2g(ξ,η,ζ)=−1ε0δ(ξ)δ(η)δ(ζ)\nabla^2_{\xi,\eta,\zeta}g(\xi,\eta,\zeta) + k^2g(\xi,\eta,\zeta) = -\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\xi)\delta(\eta)\delta(\zeta)

然后将这个直角坐标的方程换成球坐标的，这里有对称性，g(ξ,η,ζ)=f(R)g(\xi,\eta,\zeta)=f(R). 方程变为零阶 Bessel 方程：

1R2ddR[R2df(R)dR]+k2f(R)=0\frac{1}{R^2}\frac{\text{d}}{\text{d}R}\left[R^2\frac{\text{d}f(R)}{\text{d}R}\right]+k^2f(R)=0

通解为

f(R)=AeikRR+Be−ikRRf(R)=A\frac{e^{\text{i}kR}}{R}+B\frac{e^{-\text{i}kR}}{R}

仅考虑发散波，同时利用 R=0R=0 邻域内的小球积分，得到

f(R)=14πε0eikRR⟹G(r⃗;r⃗′)=14πε0eik∣r⃗−r⃗′∣∣r⃗−r⃗′∣f(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{\text{i}kR}}{R}\Longrightarrow G(\vec{r};\vec{r}')=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{\text{i}k|\vec{r}-\vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

含时的 Green 函数

讲义上的做法是错的！

对于下面问题：

[∂2∂t2−a2∂2∂x2]G(x,−t;x′′,−t′′)=δ(x−x′′)δ(t−t′′)G(x,−t;x′′,−t′′)∣x=0=0,G(x,−t;x′′,−t′′)∣x=l=0G(x,−t;x′′,−t′′)∣−t<−t′′=0,∂G(x,−t;x′′,−t′′)∂t∣−t<−t′′=0\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right]G(x,-t;x'',-t'')=\delta(x-x'')\delta(t-t'')\\\\ &G(x,-t;x'',-t'')\big|_{x=0}=0,\quad G(x,-t;x'',-t'')\big|_{x=l}=0\\\\ &G(x,-t;x'',-t'')\big|_{-t<-t''}=0,\quad \left.\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\right|_{-t<-t''}=0 \end{aligned}

时间的流动是有方向性的，因果关系不能倒易. 因此要重新研究 Green 函数的对称性：

G(x′,−t′;x′′,−t′′)−G(x′′,t′′;x′,t′)=∫0ldx∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂2G(x,t;x′,t′)∂t2−G(x,t;x′,t′)∂2G(x,−t;x′′,−t′′)∂t2]dt=∫0l[G(x′,−t′;x′′,−t′′)∂G(x,t;x′,t′)∂t−G(x,t;x′,t′)∂G(x,−t;x′′,−t′′)∂t]0∞dx−a2∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂G(x,t;x′,t′)∂x−G(x,t;x′,t′)\begin{aligned} &G(x',-t';x'',-t'') - G(x'',t'';x',t')\\\\ &= \int_0^l\text{d}x\int_0^\infty\Big[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial^2G(x,t;x',t')}{\partial t^2}\\\\ &\quad-G(x,t;x',t')\frac{\partial^2G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t^2}\Big]\text{d}t \\\\ &= \int_0^l\Big[G(x',-t';x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial t}\\\\ &\quad-G(x,t;x',t')\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\Big]^\infty_0\text{d}x\\\\ &\quad-a^2\int_0^\infty\Big[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial x}\\\\ &\quad-G(x,t;x',t') \end{aligned}

以热传导方程为例：

−∂G(x′,t′;x,t)∂t−κ∂2G(x′,t′;x,t)∂x2=δ(x−x′)δ(t−t′)G∣x=0=0,∂G∂x∣x=l=0G∣t′<t=0\begin{aligned} &\textcolor{red}{-}\frac{\partial G(\textcolor{red}{x',t';x,t})}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2G(\textcolor{red}{x',t';x,t})}{\partial x^2}=\delta(x-x')\delta(t-t')\\\\ &G\big|_{x=0}=0,\quad \left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=l}=0\\\\ &G\big|_{t'<t}=0 \end{aligned}

和普通热传导方程交叉相乘再相减，

∫0l∫0∞(G∂u∂t+u∂G∂t)dtdx−κ∫0l∫0∞(G∂2u∂x2−u∂2G∂x2)dtdx=∫0l∫0∞[Gf(x,t)−uδ(x−x′)δ(t−t′)]dtdx\begin{aligned} &\int_0^l\int_0^\infty\left(G\frac{\partial u}{\partial t}\textcolor{red}{+}u\frac{\partial G}{\partial t}\right)\text{d}t\text{d}x-\kappa\int_0^l\int_0^\infty\left(G\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-u\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\right)\text{d}t\text{d}x \\\\ &= \int_0^l\int_0^\infty[Gf(x,t)-u\delta(x-x')\delta(t-t')]\text{d}t\text{d}x \end{aligned}

分布积分之后，时间的上限只用到 t′t' 而不是 ∞\infty.

三维无界空间波动方程的 Green 函数：

[∂2∂t2−a2∇2]G(r⃗′,t′;r⃗,t)=δ(r⃗−r⃗′)δ(t−t′)G(r⃗′,t′;r⃗,t)∣t>t′=0,∂G(r⃗′,t′;r⃗,t)∂t∣t>t′=0\begin{aligned} &\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\nabla^2\right]G(\vec{r}',t';\vec{r},t)=\delta(\vec{r}-\vec{r}')\delta(t-t')\\\\ &G(\vec{r}',t';\vec{r},t)\big|_{t>t'}=0,\quad\left.\frac{\partial G(\vec{r}',t';\vec{r},t)}{\partial t}\right|_{t>t'}=0 \end{aligned}

考试

• 第一题：

  (1) 给一个含时三维方程，写出分离变量的四个分量方程 (8')

  (2) 把方程对应 Green 函数满足的定解问题写出来，并用 Green 函数把 uu 表达出来 (12')

• 第二题：

  解一个没有非齐次项的方程 (边界不齐次) (20')

• 第三题：

  可能是一维 Fourier 变换，也可能是普通的本征值问题 (可以求通解，或者是可以靠到 Bessel 或者 Legendre 上面的，要求求本征值和本征函数，讨论正交性) (20')

• 第四题：

  球函数 / 柱函数的性质 (不超过 20')

• 第五题：

  强行求解：球函数 － 方程非齐次 / 柱函数 － 边界非齐次 (30')