从这节课开始我们谈论宇宙学. 我们知道人类很喜欢把自己找到的理论用在整个宇宙上，比如从领悟得来的佛教，或者是 Newton 在太阳系中找到的引力理论.

Einstein 方程：

Rμν−12gμνR=TμνR_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}

其中 LHS 是宇宙的几何，RHS 是所有正常物质的能动张量. 这看起来很简单，我们已经完全把几何和物质分开了. 由于宇宙是均匀而各向同性的 (更严格地说，是宇宙的「背景」是均匀各向同性的)，宇宙的度规应该能写成

ds2=−dt2+a2[dr21−kr2+r2dθ2+r2sin⁡2θdϕ2]\mathrm{d}s^2 =-\mathrm{d}t^2+a^2\left[\frac{\mathrm{d}r^2}{1-kr^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2\right]

这个 kk 是一个可以调整的参数，

k={1,closed0,flat−1,openk = \left\{\begin{aligned} &1,\quad \text{closed}\\\\ &0,\quad \text{flat}\\\\ &-1,\quad \text{open} \end{aligned}\right.

而 aa 是一个随时间演化、描述宇宙膨胀的量，简单来说就是距离 ll 随时间变化为 l=a(t)∣r⃗2−r⃗1∣l = a(t)|\vec{r}_2-\vec{r}_1|.

直接说三维弯曲空间，显然无法想象；但是我们可以先从二维入手：对于一个 closed 的二维弯曲空间，且各个位置的曲率相同 (因为我们有各向同性)，那么它会弯曲成一个球面. 在三维下，我们用 x12+x22+x32=R2x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2 来描述这样一个二维弯曲空间. 为了在二维上描述这个度规，考虑把三维的坐标 confine 到二维上，三维的度规是

dl2=dx12+dx22+dx32\mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}x_1^2+\mathrm{d}x_2^2+\mathrm{d}x_3^2

如果投影的小面元正好垂直于 x3x_3 轴，那么可以尝试消掉 dx3\mathrm{d}x_3，由上式得到

dx3=−x1dx1+x2dx2x3=−x1dx1+x2dx2R2−x12−x22\mathrm{d}x_3 = -\frac{x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2}{x_3} = -\frac{x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2}{\sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}}

再取一个极坐标 x1=rcos⁡θx_1=r\cos\theta，x2=rsin⁡θx_2=r\sin\theta，那么

dx32=(x1dx1+x2dx2)2R2−x12−x22=r2dr2R2−r2⟹dl2=R2dr2R2−r2+r2dθ2\mathrm{d}x_3^2=\frac{(x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2)^2}{R^2-x_1^2-x_2^2} =\frac{r^2\mathrm{d}r^2}{R^2-r^2}\Longrightarrow \mathrm{d}l^2 =\frac{R^2\mathrm{d}r^2}{R^2-r^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2

上面这个式子已经很接近我们刚刚写出来的宇宙度规了. 重新定义 r/R→rr/R\to r，那么

dl2=R2(dr21−r2+r2dθ2)\mathrm{d}l^2=R^2\left(\frac{\mathrm{d}r^2}{1-r^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2\right)

这就得到了一个三维空间的二维球面. 而我们一开始要描述的是四维空间的三维球面，再加入那个随时间变化的 scale 因子 aa，同理可以得到那个宇宙度规表达式.

更加困难的部分是所谓 open 的宇宙. 首先考虑一个三维中的双曲面，x32−x12−x22=R2x_3^2-x_1^2-x_2^2=R^2，其度规是

ds2=dx12+dx22−dx32\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x_1^2+\mathrm{d}x_2^2-\mathrm{d}x_3^2

仍旧做类似操作，

dx32=(x1dx1+x2dx2)2R2+x12+x22=r2dr2R2+r2⟹dl2=R2dr2R2+r2+r2dθ2\mathrm{d}x_3^2 = \frac{(x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2)^2}{R^2+x_1^2+x_2^2} = \frac{r^2\mathrm{d}r^2}{R^2+r^2}\Longrightarrow\mathrm{d}l^2 =\frac{R^2\mathrm{d}r^2}{R^2+r^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2

然后 rescaling 得到开放的宇宙度规. 理解上，它是四维空间中一个 space-like 的双曲面.

原先度规有十个独立的分量，但是我们做了各向同性的假设之后只剩下 a(t)a(t) 这个变量，所以所有的问题都在求解一个关于 aa 的微分方程上.

R00=−3a¨a,R=−6[a¨a+(a˙a)2+ka2]R_{00}=-\frac{3\ddot{a}}{a},\quad R=-6\left[\frac{\ddot{a}}{a}+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}\right]

将宇宙中的物质视为流体，我们能够使用 Uμ,ρ,pU^\mu,\rho,p 这些物理量. 但是这样直接写出来的能动张量并不协变，协变形式只能是

Tμν=agμν+bUμUνT^{\mu\nu} = ag^{\mu\nu}+bU^\mu U^\nu

这种线性组合. 而边界是 T00=ρT^{00}=\rho，Tij=pδijT^{ij}=p\delta^{ij}. 解得最终的形式只能是

Tμν=(ρ+p)UμUν+pgμνT^{\mu\nu} = (\rho+p)U^\mu U^\nu+pg^{\mu\nu}

这里的 ρ,p\rho,p 定义的是没有引力的情况下，观测者感受到的能量密度和压强.

几种不同的东西对应不同的状态方程，比如非相对论性物质粒子 p≪ρp\ll\rho，p≈0p\approx 0；能量 p=ρ/3p=\rho/3 ... 还有所谓的宇宙常数 / 真空能 / 暗能量：

TμνΛ=8πGΛgμνT^\Lambda_{\mu\nu} = 8\pi G\Lambda g_{\mu\nu}

这种东西对应的状态方程为 pΛ=−ρΛp_\Lambda=-\rho_\Lambda. 其能量密度在宇宙演化过程中一直是常数 −8πGΛ-8\pi G\Lambda，这意味着能量并不守恒 —— 但是既然宇宙是演化的，我们也无从建立起全局的 Killing vector，也就无法讨论能量的概念.

在宇宙学上，我们通常用一个协变逆变混合的能动张量 Tμν=TμρgρνT^\mu{}_\nu = T^{\mu\rho}g_{\rho\nu}，也就是

Tμν=(ρ+p)UμUν+pδμνT^\mu{}_\nu = (\rho+p)U^\mu U_\nu+p\delta^\mu{}_\nu

我们有 Tμν;ν=0T^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0，这可以推出 d(ρa3)=a3dp\mathrm{d}(\rho a^3)=a^3\mathrm{d}p. 对于 matter，p=0p=0，

∂ρ∂t+3a˙aρ=0⟹ρ∝a−3\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{3\dot{a}}{a}\rho=0\Longrightarrow\rho\propto a^{-3}

对于 radiation，p=ρ/3p=\rho/3，同理得到 ρ∝a−4\rho\propto a^{-4}.

对于真空能，p=−ρp=-\rho，得到 ρ∝a0\rho\propto a^0.

Hubble 发现了 Hubble's law，宇宙以 H=a˙/aH = \dot{a}/a 的比率膨胀. 按照朴素的想法，所有的物质都有引力，因此宇宙的膨胀似乎应该是减速膨胀的；下面我们尝试计算 matter dominated 的宇宙：

H2≡(a˙a)2=8πG3ρ,ρ˙=ρ0(aa0)−3H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho,\quad \dot{\rho}=\rho_0\left(\frac{a}{a_0}\right)^{-3}

解得，

a(t)∝t2/3,a(t)=(32H0t)2/3a0a(t) \propto t^{2/3},\quad a(t)=\left(\frac{3}{2}H_0t\right)^{2/3}a_0

确实符合减速膨胀的预期.

对于 radiation dominated 的情况，解得 a∝t1/2a\propto t^{1/2}，仍然是减速膨胀.

对于 energy dominated 的情况，解得 a∝eH0(t−t0)a\propto e^{H_0(t-t_0)}，加速膨胀.

总结起来是

a(t)={a0(2H0t)1/2,radiationa0(3H0t/2)2/3,mattera0eH0(t−t0),cosmologic constanta(t) = \left\{\begin{aligned} &a_0(2H_0t)^{1/2},\quad \text{radiation}\\\\ &a_0(3H_0t/2)^{2/3},\quad \text{matter}\\\\ &a_0e^{H_0(t-t_0)},\quad \text{cosmologic constant} \end{aligned}\right.

老师刚刚发现它所有的讨论都忘记 curvature 了，因此现在我们把它捡回来.

之前说的是

(a˙a)2+ka2=8πG3ρ\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho

那么可以把 LHS 的第二项单独拎出来，写一个等效的 ρcurvature\rho_{\text{curvature}}.

我们唯一能够测量的是 Hubble constant，因此写出：

H2=8πG3[ρR(aa0)−4+ρM(aa0)−3+ρΛ+ρcurvature(aa0)−2+⋯ ]H^2 = \frac{8\pi G}{3}\left[\rho_{\text{R}}\left(\frac{a}{a_0}\right)^{-4}+\rho_{\text{M}}\left(\frac{a}{a_0}\right)^{-3}+\rho_\Lambda+\rho_{\text{curvature}}\left(\frac{a}{a_0}\right)^{-2}+\cdots\right]

(省略号表示可以引入新的内容对 Hubble constant 产生的影响，比如弦.)

如果把前面三项合在一起称为 ρcrit\rho_{\text{crit}} (Critical 的能量密度，不算 curvature 产生的等效能量密度)，而全部四项加起来为 ρtot\rho_{\text{tot}}，那么考虑这个量：

ρcritρtot\frac{\rho_{\text{crit}}}{\rho_{\text{tot}}}

如果是等于 11，那么宇宙 flat；大于 11，宇宙 closed；小于 11，宇宙 open. 当前测量的结果是极其接近 11 的，由幂律往前推，这意味着早期宇宙的曲率会更加小，也就是平直到了不正常的程度，这被称为宇宙平直性问题.