变分法来源于能量是波函数的泛函：

δε=⟨ψ∣H∣ψ⟩\delta\varepsilon=\langle\psi|H|\psi\rangle

能量的近似值就是泛函的极值.

今天讲一个应用场景. 接着上面变分法的做法，我们可以对波函数在某一组基下展开，展开的系数实际上就是变分参数，展开的阶数越高，最后的结论越准确.

对于一个双电子原子，其 Hamiltonian 为

H=−ℏ22m(∇12+∇22)−2e24πε0(1r1+1r2)+e24πε01∣r⃗1−r⃗2∣H = -\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_1^2+\nabla_2^2)-\frac{2e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}

考虑视为独立体系，最后一项作为微扰项引入.

很明显这并不是「微扰」，但是对于复杂的问题只能这样处理.

更进一步地处理是平均场近似，把另一个电子的作用平均掉. 或者用变分法，

⟨V⟩=e24πε0(8πa3)2∫e−4(r1+r2)/a∣r⃗1−r⃗2∣d3r⃗1d3r2\langle V\rangle = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{8}{\pi a^3}\right)^2\int\frac{e^{-4(r_1+r_2)/a}}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}\text{d}^3\vec{r}_1\text{d}^3r_2

这个积分的处理是数理方法中的内容，

1∣r⃗1−r⃗2∣∝∑m(r<r>)l⋅1r>(−1)lYlm(r^1)Ylm∗(r^2)\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}\propto\sum_m\left(\frac{r_<}{r_>}\right)^l\cdot\frac{1}{r_>}(-1)^lY_{lm}(\hat{r}_1)Y_{lm}^*(\hat{r}_2)

谐振子基态：

ψ00(x,y,z)∝exp⁡(−x2+y24l2I−z24lz2)\psi_{00}(x,y,z)\propto\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{4l^2I}-\frac{z^2}{4l_z^2}\right)

对于 Bose-Einstein 凝聚体，其整体波函数是 ψ00(1)ψ00(2)⋯\psi_{00}^{(1)}\psi_{00}^{(2)}\cdots. 但是这是没有相互作用的结果，有相互作用时，波函数呈现 Gauss 型还是其他形状？变宽还是变窄？

• 0a877-feat(note): add note于 2025/12/22