首先我们考虑 $\ket{j_1,m_1}$ 和 $\ket{j_2,m_2}$ 的叠加，一共应该是 $(2j_1+1)(2j_2+1)$ 个维度.

角动量升降算符：

$$j_{\pm}\ket{j,m} = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\ket{j,m\pm 1}$$

定义 $\vec{j}=\vec{j}_1+\vec{j}_2$，则

$$j=j_1+j_2,j_1+j_2-1,\cdots,|j_1-j_2|$$

能够合成的最大角动量是

$$\ket{j=j_1+j_2,m=j_1+j_2}=\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}$$

算 $m=j_1+j_2-1$ 的那一个，就在左边作用一个 $j_-$，右边作用一个 $j_{1-}+j_{2-}$，得到

$$\begin{aligned} &\sqrt{(j_1+j_2)(j_1+j_2+1)-(j_1+j_2)(j_1+j_2-1)}\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=\\\\ &\sqrt{j_1(j_1+1)-j_1(j_1-1)}\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}\\\\ &\quad+\sqrt{j_2(j_2+1)-j_2(j_2-1)}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1} \end{aligned}$$

左边的系数除过来就是 CG 系数. 再下一阶，应该是

$$\begin{aligned} &j_{1-}^2\ket{j_1,j_1-2}\ket{j_2,j_2}+(j_{1-}j_{2-}+j_{2-}j_{1-})\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2-1}\\\\ &\quad+j_{2-}^2\ket{j_1,j_2}\ket{j_2,j_2-2} \end{aligned}$$

依此类推.

但是我们之后还要算 $\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1}$ 的这种 (总角动量更小的)，我们虽然不知道具体的系数，但是我们知道一定是 $\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}$ 和 $\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}$ 的叠加，因为 $m$ 已经是最大的了.

因为 $j=j_1+j_2-1$，所以这个态和原来的 $\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}$ 的态正交，如果

$$j_-\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=a\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}+b\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}$$

那么应该有

$$j_-\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1}=b\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}-a\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}$$

之后可以算 $\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-2}$ 的态，是上面的式子再作用 $j_{1-}$ 和 $j_{2-}$ 这些算符.

那么 $\ket{j_1+j_2-2,j_1+j_2-2}$ 的态如何计算？我们已经在前面算出三种独立的分量：

$$\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2},\quad\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1},\quad\ket{j_1,j_1-2}\ket{j_2,j_2}$$

只要和原来的 $\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-2}$ 和 $\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-2}$ 正交就能算出这个新的态.