固有时间：

dτ=−1c2dxμdxμ\text{d}\tau = -\frac{1}{c^2}\text{d}x_\mu\text{d}x^\mu

四维微商算符：

∂μ≡(∇,1ic∂∂t)\partial_\mu\equiv\left(\nabla,\frac{1}{\text{i}c}\frac{\partial}{\partial t}\right)

四维速度定义为

Uμ≡γ(v⃗,ic)U_\mu\equiv\gamma\left(\vec{v},\text{i}c\right)

由四维的微商算符，可以定义 d'Alembert 算符，

□2≡∂μ∂μ=∇2−1c2∂2∂t2\Box^2\equiv\partial_\mu\partial^\mu = \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}

引入四维电流和四维磁矢势，

jμ≡(j⃗,icρ),Aμ≡(A⃗,iφc)j_\mu\equiv(\vec{j},\text{i}c\rho),\quad A_\mu\equiv\left(\vec{A},\frac{\text{i}\varphi}{c}\right)

则电荷守恒和 Lorentz 规范分别写为

∂μjμ=0,∂μAμ=0\partial^\mu j_\mu=0,\quad\partial^\mu A_\mu=0

电磁学基本规律可以合并：

∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−ρε0,∇2A⃗−1c2∂2A⃗∂t2=−μ0j⃗⟹□2Aμ=−μ0jμ\nabla^2\varphi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad\nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\vec{j}\Longrightarrow \Box^2A_\mu = -\mu_0j_\mu

因为电磁场场量和势之间满足关系

E⃗=−∇φ−∂A⃗∂t,B⃗=∇×A⃗\vec{E} = -\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad \vec{B}=\nabla\times\vec{A}

引入一个反对称二阶张量 Fμν=∂μAν−∂νAμF_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu，可以很好地描述电磁场场量：

Fμν=(0Bz−By−iEx/c−Bz0Bx−iEy/cBy−Bx0−iEz/ciEx/ciEy/ciEz/c0)F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&B_z&-B_y&-\text{i}E_x/c\\ -B_z&0&B_x&-\text{i}E_y/c\\ B_y&-B_x&0&-\text{i}E_z/c\\ \text{i}E_x/c&\text{i}E_y/c&\text{i}E_z/c&0 \end{pmatrix}

电磁场张量的变换为

Fαβ′=L  αμL  βνFμνF'_{\alpha\beta} = L^{\mu}_{\,\,\alpha}L^{\nu}_{\,\,\beta}F_{\mu\nu}

在三维形式下，我们可以写成：

{Ex′=ExEy′=γ(Ey−vBz)Ez′=γ(Ez+vBy),{Bx′=BxBy′=γ(By+vc2Ez)Bz′=γ(Bz−vc2Ey)\left\{\begin{aligned} &E_x'=E_x\\\\ &E_y'=\gamma(E_y-vB_z)\\\\ &E_z'=\gamma(E_z+vB_y) \end{aligned}\right.,\quad \left\{\begin{aligned} &B_x'=B_x\\\\ &B_y'=\gamma\left(B_y+\frac{v}{c^2}E_z\right)\\\\ &B_z'=\gamma\left(B_z-\frac{v}{c^2}E_y\right) \end{aligned}\right.

矢量形式写成

E⃗′=γ(E⃗+v⃗×B⃗)−γ2γ+1v⃗c(v⃗c⋅E⃗)B⃗′=γ(B⃗−v⃗×E⃗c2)−γ2γ+1v⃗c(v⃗c⋅B⃗)\begin{aligned} &\vec{E}' = \gamma(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})-\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{\vec{v}}{c}\left(\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{E}\right)\\\\ &\vec{B}' = \gamma\left(\vec{B}-\frac{\vec{v}\times\vec{E}}{c^2}\right)-\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{\vec{v}}{c}\left(\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{B}\right) \end{aligned}

由此，利用 Lorentz 公式可以引入四维力密度：

fμ=(ρE⃗+j⃗×B⃗,icW)f_\mu = \left(\rho\vec{E}+\vec{j}\times\vec{B},\frac{\text{i}}{c}W\right)

• 6a93c-feat(note): add ed note于 2025/12/11