1. homogony 作为以连续变形为基础的最弱几何等价关系

关系中最紧密者为重合（coincidentia），亦即逻辑同一。严格来说它并不属于纯粹数学范畴——因为重合之物的差异仅停留在语言层面（如等式 A=A 里的两个 A）；但在几何应用中，重合也可指代全等图形的实际叠合。 紧随其后的是全等（congruentia）：彼此全等的对象，唯有凭借共存关系才可区分，且通常必须参照第三个外在参照物方能辨别。再往下是相似（similitudo）：这类对象同样只能依靠共存关系加以区分；若单独审视任一对象，则彼此无从分辨。与之并列的是相等（aequalitas），对此莱布尼茨始终无法给出正向、明确的判别标准。比以上二者更为宽泛的，是同质性（homogeneitas），大略对应现代数学的局部同胚（local homeomorphisms）。而适用性更广的则是homogonia，大致可等同于局部同伦群（group of local homotopies）。

Homogonia：以连续变形为基础的最弱几何等价关系。homogony这一概念，是对同质性（homogeneity）的自然推广。其核心内涵，对应现代数学里单参数连续映射簇的思想。莱布尼茨指出：若两个对象能通过某种连续形变实现相互转化，二者便具有homogony关系。例如：点可连续变为线，线可连续变为面（由此，homogony 不保维度）。其价值在于：能以更为严谨的方式，刻画图形与其截面之间的关系，或是图形与其在运动过程中所生成的 “迹线（vestigium /trace）” 之间的关联。

2. 点（位置）构成空间中的 homogony 关系

莱布尼茨晚年愈发偏爱将点定义为 “无广延的位置”、而非 “homogonous的界限”，其根本原因，在于他此时已深化了对位置与空间两大概念的理解。 homogony关系本就建立在 “可移动性” 之上 —— 归根结底也要依托于全等关系，而这一点，反倒促使他转向了新的定义路径。 莱布尼茨之所以将点界定为 “不含广延”，是因为他已然发现：只需以 “具有位置” 来规定点，就足以建构整个空间。

莱布尼茨晚年最终的空间定义，空间，在某种意义上乃是由点所构成（此言构成，而非堆砌合成）。这一观点实则源自他长期沿用的一套更为精微的定义：亦即把点视作 “无广延却具有位置” 的点位 / 轨迹。彼时学界普遍主张：单纯的点集永远无法生成任何广延。但这一论断，仅在把集合理解为纯粹量化的堆积时方才成立。倘若我们考察结构化集合—— 或用更贴合莱布尼茨思路的表述：考察一个其元素本质上皆是关系项的集合，情况便全然不同。而这，正是将空间定义为「绝对位置之集合」的要义所在。一如他对待度量的思路：莱布尼茨深知，广延既无法靠堆砌无数无广延元素而生（无广延之物的聚合依旧无广延），也不由广延性的极小原子、或大小不定的无穷小量所构成（无论该无穷小相对于有限量是阿基米德式还是非阿基米德式）。广延仅由元素之间的相互关系而生。就此而言，莱布尼茨的思想已高度贴近当代将几何空间视作「赋有结构的集合」的理解——无论该结构是拓扑结构还是度量结构（就本文讨论而言皆可）。对他而言，空间最终就是一套建立在「无广延、但有位置」的诸元素之上的关系总体。

【在某种意义上，几何基础研究促使莱布尼茨重新权衡不可分量与他自己新式分析中的无穷小量。不过，这类具有位置规定的不可分量，与有广延的无穷小量完全可以相容并存。当然，无穷小量在实用层面远比不可分量重要：它为一切度量技法提供可行性与根基，而不可分量对此始终难以胜任。若要为 “广延的关系性建构” 寻找例证，便可回溯至homogony；届时我们将发现，刻画这一关系的运动，完全超出直观所能理解的范畴。莱布尼茨借助低维图形的运动，来定义高维图形——这一机制，便是他晚年所称的homogony。即便在定名之前，他也早已清楚：这里所说的运动，本质是为图形赋加全新的位置结构。换言之，这已经十分接近今人所说的流形上的纤维丛：亦即某种特定位置秩序的重复生成（实则为局部拓扑积）。我们完全可以从低维图形经由运动“构造”空间的角度理解这一论题：空间由低维图形凭借运动（即homogony）而成；但这并非单纯对广延之物的叠加或拼接，而是全新位置秩序的涌现——正因如此，空间绝不等于低维图形的堆砌。 「一切运动曲面，皆由无穷多条直线建构而成，每条直线都遵循均匀分布的运动；一切运动立体，皆由无穷多张曲面建构而成，每张曲面都遵循均匀分布的运动。我说的是建构而成，而非拼接组合。（Constitui dico, non componi）」（《动力学》I 卷四） 】

轨迹概念扮演核心角色：轨迹即是结构化的点集，抑或是几何图形本身。由此，整体空间被定义为至广轨迹，亦可称作 “一切位置之位置”、或是所有点的总和。这一表述看似重回 “空间仅是容器” 的朴素观念，实则将空间确立为关系的容器—— 亦即所有位置秩序的总体系统。

【注：位置秩序本身就内含度量结构。事实上，空间依托位置概念得以定义，而位置概念又完全建立在全等关系之上；即便在部分空间的现象学定义里，甚至无需引入 situs 概念，全等关系也依然在场。这一思路清晰表明：不仅位置分析学的核心几何工具（正如我们此前考察本源关系、以及全等在其中的核心地位时所言），就连莱布尼茨几何学乃至形而上学的研究对象，本身都具备结构性的度量特征。空间自在地就是度量空间。为点集赋予结构、从而构成空间的那套关系体系，绝非拓扑关系、仿射关系或其他类型的关系，而纯粹是一组度量关系。说空间是位置的秩序，等价于说它是空间中所有点之间距离的总体体系。因此，尽管从逻辑层面来看，莱布尼茨晚期提出的相似性等非度量考量，的确拥有清晰的定义优先性（它们被视作更基础的本源概念）；但用来规定位置关系的全等，始终是首要的几何关系 —— 因为空间终究要通过situs 来界定。 由此，空间分析的真正核心工具，就是全等关系与广义的度量几何。任何试图将莱布尼茨的位置分析，解读为首个摆脱度量考量的几何学范式，都注定无法成立。】

3. 困难：homogony 依赖未被奠基的连续性

莱布尼茨手头唯一能串联两套定义（将点视作边界、将空间视作点集）的工具，唯有homogony。事实上，他有时正是借助齐性，来为位置秩序下的空间连续性奠基。可homogony本身又要诉诸运动概念，而运动反过来又必须以连续性为前提才能成立。因此，当莱布尼茨主张 “点与曲线具有齐性 —— 因为曲线由点的运动生成” 时，这一说法本身并无谬误。但倘若他想从运动的连续性，推导出曲线的连续性（再推得曲线运动生成曲面的连续性、曲面运动生成空间的连续性），那他就必须先独立证明：运动必然连续、且真实可存。可实情恰恰相反：连续运动的可能性，本该奠基于空间（与时间）的连续性，而非本末倒置。这就意味着：homogony 到头来，反倒预先依赖了它本要去奠基的那个概念

而让整套理论愈发错综复杂的是，莱布尼茨（依旧承袭亚里士多德主义）将连续体视作统摄空间与时间的逻辑共属大类，因此即便在不存在任何共存秩序的领域，他也依然承认连续性成立。由此一来：既然位置是共存的样态，他便永远无法把连续性还原为一组位置关系。事实上，到了晚年，诸多思路本可以促使他要么接纳非连续时间的构想，要么反过来主张一种空间化的时间 —— 让时间最终也被赋予位置关系。可他两条路径均未采纳，其时间结构直至终篇始终暧昧含混、悬而不定。综上我们便能看清：莱布尼茨之所以没能严格推证空间的连续性，症结并非单一障碍，而是其宇宙论中几乎所有遗留难题交织叠加所致。反之亦可成立：这一处理论缺憾，最终动摇了他多年苦心建立的诸多成果；也彻底阻碍了他，使其几何体系与形而上学体系，终究没能抵达他毕生求索的清晰性与完备性。

【关于homogony这一概念，以及一般而言运动在为连续体奠基过程中的重要性，卡西尔在其《莱布尼茨的体系》一书中曾着力强调：但若转而从广延的存在定义出发，（这一纯粹的连续性构想）便难以维系。因为这恰恰是莱布尼茨思想的独创洞见：他揭示出，我们不可能把连续性当作既定存在的固有属性，做出穷尽式的规定。唯有从生成规律出发，我们才能理解连续体。即便是康德定义中残留的不确定性，也同样源于此 —— 康德依旧将连续性当作量的属性来探寻，而非将其视作量的生成原理。 然而在此必须指出：无论我们如何深究运动学，都无法从中、亦无法从运动学的形而上学根基里，推导出哪怕一丝证明，来佐证 “运动必然连续”。我们也不可被表象迷惑：莱布尼茨自青年起就为了定义需要，预设这一命题为真；可他本该反过来证明：位置的连续变化是可能成立的 —— 而倘若空间本身不连续，这一论断本就不成立。针对这一难题，卡西尔给出的解答看似是：运动的连续性有着动力学根基，亦即植根于力的连续性；而力的连续性，最终又奠基于单子活动的连续性。但这套思路已然脱离运动学，也脱离了几何学的边界。由此，所有 “几何学不得引入运动” 的质疑会再次浮现：究其根本，单子的变化连续性（至多）只是偶然真理，因此不能被引入几何论证。综上，能够担保空间之连续性的，绝非运动本身，更非力的系统所催生的运动；正如前文已揭示的，唯有某种创造空间的先验建构活动，才能实现这一奠基。 】

邻接性这一冗余概念的桎梏：邻接性（ἐχόμενον）这一概念，最早由亚里士多德在《物理学》第五卷第三章引入哲学讨论，并在近代所有关于连续性的研究中被广泛沿用。 即便是莱布尼茨本人，也从未真正摆脱邻接者这一概念。在他晚年阐释物质运动、以及单子在空间中弥散分布的各类界定里，始终都在沿用该概念。他唯一做出的改进是：在某个阶段，他不再试图为邻接性寻找数学解释 —— 而这条路本就全然行不通；由此，他反而能更纯粹地致力于严格建构连续性的理论表述。可邻接性这个纠缠不休的概念，依旧会渗透进莱布尼茨那些最精妙的定义当中，最终注定让这些定义要么失效，要么至少陷入晦涩。诸多相关定义在他笔下反复更迭，这也导致后人很难清晰梳理其长年的思想演进；显而易见，莱布尼茨本人对其中任何一种定义都始终不满（而这份不满实属合理）。倘若抛开对邻接性的非数学化阐释，那么该方向上唯一确凿的理论推进，就在于走向完全几何学化的表述 —— 这套表述既无需诉诸形而上学，也不必依托力学。【后文会谈到，以现代视角来看，恰恰本该靠莱布尼茨所探讨的连通性把连续空间与单纯邻接的空间区分开来，可莱布尼茨终究做不到】

4. homogony+连续性直觉是混杂未分化的，无法对接今天的拓扑工具

严格来说，如今再说 “空间是连续的”，已然毫无精确意义。现代严谨表述会替换为：空间是完备的、连通的、单连通的、紧致的、局部紧致的；或是正则的、正规的，至少也是豪斯多夫的，如此种种。而今，我们完全没必要强行在莱布尼茨的文本里，硬找这些现代空间性质的对应。理由充足：现代这些拓扑定义，彼此层层蕴含，推导复杂，绝非简单并列；其中不少，本来就从莱布尼茨空间的其他规定（例如，空间本身作为流形）衍生而来；要界定这些概念，必须依托精细的现代拓扑工具，这是十七世纪数学家完全不可能掌握的；最关键：这些区分，在莱布尼茨本人的思想里是彻底混杂、从未分家的。

在 “连续性” 这一含混概念名下，有两项特定性质得到了专门探讨：即连通性与完备性。其一为连通性：它不仅定义简明，也是所有拓扑性质中最贴合直观、同时又是一切几何学研究的基础核心性质。其二为完备性：这是刻画实数的根本性质，因而也规定了我们所要考察的一切实流形的结构。莱布尼茨频繁提及这两者。每当他讨论邻接性，就不得不触及连通性 —— 以现代视角来看，恰恰本该靠连通性，把莱布尼茨的连续空间与单纯邻接的空间区分开来，可他终究做不到。而完备性，则大量体现在他将空间定义为所有点的轨迹的诸多表述中；更关键地体现在他试图阐明：如何通过综合预设一切共存样态（亦即一切位置），来规定共存秩序。事实上，正是顺着这一条理路，他想要确保空间具备完备性 —— 这等价于证明他的 “绝对空间” 真正绝对，或如其别处所言，证明空间是完满的。然而，他并不擅长对这一直觉做出严格的数学形式化处理。而这彼时在他那里已然升华为一条先验原理—— 也就是如下原理：某种综合行动能够涵摄一切位置，因而「凡具有位置者，彼此之间亦皆具有相对位置」。最终，他所得出的，只是一种半连通、半完备的混杂概念；有时这一概念甚至会退化为单纯的无限可分性——而这远比他真正想要的那种严格性质要薄弱得多。

5. 莱布尼茨对连通性与完备性的成功探讨

尽管如此，无论是出于偶然，还是源于其研究中某种隐秘却切实的思想推进：在他为界定连续性做出数十次尝试——而所有这些定义，在现代数学家看来皆存有可批判之处；在他提出诸多牵强不完善的定义——甚至屡屡相较于早年来之不易的微薄进展出现明显倒退；在他窥见、触及过无数相关思想概念之后，莱布尼茨最终给出了一个关于连续体的定义——该定义竟严格同时满足了刻画连通性与完备性两大诉求。诚然，它不算清晰直白，亦非毫无瑕疵，却极具探讨价值：因为它标示出了莱布尼茨对连续体问题所能抵达的思想极限。这一定义见于《评欧几里得》(In Euclidis propria)：“量要具备连续性，需要满足两项条件：第一，凡两相合为整体的部分，必存在某种公共关联 —— 但该关联本身不得再是部分；第二，这些部分须依通常说法彼此外在相离：亦即，总能取出任意两个合不为整体的部分，使其毫无公共交集，哪怕是极小的交集亦不存在。”——第一项条件与数学分析的关联最为密切。不难看出，整套定义都建立在部分这一概念之上：倘若缺少这一概念 —— 或更确切地说，倘若缺少对它的清晰界定 —— 整个理论建构便会如纸牌屋般轰然崩塌。而在这一点上，莱布尼茨虽耗费诸多心力，终究如愿得到了他一直渴求的明晰观念。事实上，其早年曾深陷对 “部分” 的各类逻辑学定义之中。这类定义对构建普遍字符体系、乃至整套形而上学而言固然至关重要，却完全不适用于几何学的严格推演。直到思想相对成熟的后期，莱布尼茨才完善出一套适配几何学根基地位的“部分”定义：所谓部分，即是内在于整体之中（内在存有关系 inesse）、且与整体同质之物。由此，正是同质（homogenity）关系，为连续性的定义奠定了可能。莱布尼茨最终给出一套完全几何化、形式化（尽管仍非尽善尽美）的同质概念，这一点立刻带来了关键增益：自此之后，他得以立足纯粹数学层面开展论证，既不必依赖含混的直观辅助，也无需单单依靠飘忽不定的逻辑分析来谋求明晰。

恰恰与这一定义相关，又会产生另一个问题：莱布尼茨所言的 “空间之部分”，放到现代数学框架中，究竟是闭集，还是仅仅是任意点集？这个问题几乎不可能有一劳永逸的答案。诚然，莱布尼茨完全知晓这一区分，还曾举过非闭集的例子——即不包含自身边界的集合（需说明：本文始终指欧几里得拓扑意义上的closure，而非抽象集合论中的闭集概念）。但他似乎从未在具体几何论证中使用过这类集合。无论如何，传统的“邻接”概念本身，以及对空间的实体论式理解，本就遮蔽了他对这一问题的洞察。即便如此，我们也唯有承认：莱布尼茨所讨论的轨迹（及其部分），本质上均为闭集，我们才能将上述连续性定义视作契合现代连通性概念的恰当表述。事实上，连通性作为一种拓扑性质，其定义在根本上依赖于闭集族的规定。倘若缺少这一前提，莱布尼茨关于连续性的定义便会陷入谬误。而这一谬误的根源，恰恰是“邻接”概念带来的隐性影响：依据邻接观念，对一个集合做纯粹几何分割，便可直接判定它不连通；反之（在集合运算中），为两部分添加一个公共点，就足以证成连续性。但这套逻辑，仅在把部分视作不可拆解的广延实体（依靠单点拼接而成）时才能成立。反之，若严格按照应然思路，把整个空间及其部分都理解为被赋予位置关系的点集：那么，单纯的集合运算，根本无法实现部分之间的连通或分离。连通性的生效维度完全不同—— 它植根于位置秩序。因此，唯有明确引入位置秩序（契合拓扑学的闭包概念），才能真正落实莱布尼茨原本的理论意图。

现在再来考察完备性这一完全不同的情况。即便我们仅以闭集为基础（暂且不把闭集视作 “部分”），尝试对莱布尼茨的论证加以形式化 —— 显而易见，他的思路永远无法刻画线性完备性。事实上，唯有区分上确界与最大值这两个概念，才能从分析学层面严格形式化完备性。因此，倘若我们只局限于考察那些包含自身边界的集合，显然永远无法触及完备性这一概念。反之，若我们在 “部分” 的一般定义中接纳闭集，同时又承认非闭集同样成立（这一莱布尼茨的立场），我们便会惊叹：莱布尼茨对连续性的定义，竟与戴德金的完备性定义高度契合⁴⁷。此事堪称奇妙 —— 须知后世数学家，足足耗费两个世纪才终于厘清这一清晰洞见。最令人叹服的是：莱布尼茨的定义（仅需极少数细微调整），已然立足于二阶集合思想（定义完备性不可或缺的理论框架）；而戴德金的分割思想，也已（尽管表述极为隐晦地）蕴含其中。无论如何，从莱布尼茨的定义中，完全可以提炼出线性完备性。论证如下：设一个稠密有序集不满足完备性，我们恰好在此集的缺失元素处作分割，将其拆为两部分。所得两个子集虽能合成整体，却无公共点。此时若想为二者寻得一个公共点，便在两个子集内继续取更多元素，使其相互叠合；最终两个子集必将拥有一整块公共部分。而依据莱布尼茨的标准，这一整体又会变为非连续。由此可证：莱布尼茨意义下的连续性，已然蕴含现代意义上的完备性。

6. homogeneity与维度拓扑不变性

依托双连续变换所定义的homogeneity概念，显然与连续性严格关联。恰恰凭借同质性，莱布尼茨得以从几何学层面定义何为空间的 “部分”，并由此阐明空间连续性的真正内涵。即便置于更严格的公理化体系中，homogeneity 也是连续性的核心前提：在莱布尼茨看来，homogeneity可推导出阿基米德公理 —— 而这正是为连续统建立完备公理化体系的根本基石。 但在位置几何学领域，同质性承担着一项根本性核心职能：制衡数学中极具创新性的homogony概念。如我们所见，homogony 在几何推演中至关重要——它确立了点与空间之间的普遍关联，由此将空间规定为位置之序。恰恰是 homogony，让莱布尼茨的空间观摆脱了传统经院哲学对广延体的维度分割（这是古典学说与经院哲学的固有范式）；这类分割会严重妨害现代几何学的发展 —— 亦即无法把空间及其不同维数的子空间，单纯视作带位置的点的集合与子集来研究。然而，这种对空间的表述，若不进一步赋予深层结构，仍不足以支撑莱布尼茨所需的几何思辨，也无法适配（黎曼）度量几何的相关讨论。换言之，即便我们承认：空间各部分的不同维数，并不会使其彼此完全割裂、必须分立研究；我们也承认，将点、线、面与三维空间统摄于同一个核心概念之下（而非把前者仅视作后者的抽象边界），是极具价值、乃至不可或缺的思路；但我们仍需明确：几何学无法满足于无维数的空间 —— 比如一般拓扑学框架下的抽象空间。莱布尼茨开展几何研究时所构想的空间，尤其是他试图与自己的几何空间相绑定的、兼具物理实在与现象学意义的空间，本质上必然依赖维数结构。为切入莱布尼茨空间的维度问题，我们需进一步深究 homogeneity 概念——莱布尼茨将如下关键职能赋予它：维系不同维度之间的相互区分。依他之见：所有一维图形彼此同质，所有二维、三维图形亦各自同质；但不同维度的图形之间，绝不具备同质性。 而正如前文所述，莱布尼茨所言的同质性，本质就是双连续变换。由此，我们接下来必须探讨：这类变换下的维度不变性问题。

在莱布尼茨的思想中，这一观点与其度量理论紧密相连。其第一步，是严格主张：不同维度的度量之间具有绝对异质性—— 我们永远无法用长度单位或体积单位，去度量一个曲面。莱布尼茨秉持这一立场，根本上源于时代思想传统：一方面，他清楚在物理学研究中，引入更高维度虽具备数学价值，可用来刻画非直观几何量（如速度、温度、重量等）。因此他自然会把 “维度” 等同于物理系统的自由度，将单纯的长度度量视作最基础的线性表征。另一方面，他对无穷小本质的深入研究，又要求必须给无穷小赋予带维度的、纯几何化的直观解释。凭借这一原则，他也得以同时厘清当时部分几何学家的混淆：那批学者热衷于在维度过渡中，假定度量具有同质性（譬如把长度视作无穷小的面积）。针对这类观点，莱布尼茨反复提出一条基于度量连续性的论证：令一个二维圆盘，通过homogony（非同质性 homogeneity）的连续收缩不断变小，直至缩为一个点。假如不同维度的度量真能连续贯通，那么在收缩过程的某一刻，这个圆盘就会拥有有限的一维（线性）度量 —— 而这本身是荒谬的，只会源于 “不同维度度量之间可连续过渡” 的错误预设。莱布尼茨自认为由此证明了度量的维度严格性：有多少种维度，就有多少种彼此异质、不可通约的度量。进而他推得：不同维度的几何图形，不可能共享任何有限度量。例如：不可能存在一个一维图形，拥有有限的二维度量。假定某条曲线具备某个二维度量，我们取一个面积与之相等的正方形；再取一条比该曲线更长一点的曲线（亦即拥有更大度量）—— 那么我们完全可以将后者弯折，使其整体恰好容纳进前述正方形之内。如此一来，第一条曲线的一维度量，反倒会大于等于度量更大的第二条曲线 —— 这显然构成矛盾。以莱布尼茨本人的表述来说，该论证可整理如下： 正如我们说一条直线包含在一个曲面当中；同理，任意长度的线条，总可以通过卷曲、折叠，使其容纳在任意微小的曲面之内。但我们绝不能据此断言 —— 除非沿用欧几里得宽泛的通俗说法 —— 任意长的线条，会小于任意小的曲面：二者从根本上完全不可比较。倘若执意主张二者可比，便会陷入欧几里得也曾遭遇的理论困境：假若线条能小于曲面，且在线段与点之间构成某种中间量级；那么一个连续收缩、最终坍缩为点的圆，在收缩的某一刻，就必须等同于一条线段 —— 这显然是荒谬的。

这意味着，保测变换（mesure-preserving）同样会保持图形的维度不变。由于相似变换也必然（平凡地）保持维度，我们便可推出所要结论：两个同质图形 —— 即存在第三个图形，既与第一个全等、又与第二个相似 —— 必然具有相同维度。而倘若我们将这种同质性理解为（局部）同胚映射，那么此处所见，正是莱布尼茨对维度拓扑不变性的证明。这为莱布尼茨提供了坚实的理论根基，使其能够完整建立关于空间分割与相交的整套学说。 总而言之，这一原理将其抽象空间中无规定的绝对态，规整为结构化的 n 维连续统；同时在位置几何内部，复刻了点、线、面、立体的经典划分 —— 倘若缺少这套区分，初等几何便会彻底丧失成立的基础。

此外，由于 “部分” 这一概念与同质性直接关联，莱布尼茨便会径直主张：空间本身是同质的 —— 亦即，空间的任意一个部分，都与其余所有部分彼此同质。尽管这一结论极具重要性，它却并不能直接从 “部分” 的定义中推导出来：莱布尼茨在此本应证明，空间是由诸多部分构成的。这一点看似不言自明，实际上却从未能从他 “空间乃位置之秩序” 的定义中严格证得。不过，即便其尚未完成的理论体系存在论证缺陷，倘若我们意在厘清：莱布尼茨要将同质性引入绝对空间概念，其根本用意究竟何在，那么我们就将发现：空间的同质性，完全可以借由当今定义（拓扑）流形概念的理论结构来理解。换言之，整个空间可被拆分为若干片段（即莱布尼茨所说的 “部分”）的并集，而这些片段之间两两同胚等价。

尽管在莱布尼茨的著作中表述颇为隐晦，但这仍是界定空间本身的一次重大理论推进。一方面，它将庞大的抽象拓扑空间类别排除出讨论范围，仅保留唯一对象——实流形；相较于其他拓扑对象，实流形更贴合直观、也更易于分析处理。另一方面，它为空间的规定性提供了关键阐明：直接指明我们所处的空间是赋有维度、且维度恒定的空间。不仅如此，该理论还蕴含更深层结论：任意 n 维流形的边界同样是流形，且维度为 n−1。这一观点为莱布尼茨搭建完备的几何理论体系提供了支撑，使其能够从维度层面界定包容空间（绝对空间 /spatium absolutum）内的各类图形与子空间。在借助同质性确立维度差异之后，他便可重新启用纯匀性运算（该运算会消解维度差异）：不再将其视作无定维空间要素之间最宽泛的普遍关系，而是专门用来实现不同维度之间的转换推演。实际上，纯匀性的核心内涵是：图形的运动延展，一般会生成高一个维度的新图形；反之，取边界（莱布尼茨常将边界等同于截面），则能得到低一个维度的图形。由此，莱布尼茨拥有两套升降维度的工具：in dimensionibus ascenditur per motus, discenditur per sectiones（维度升阶凭运动，维度降阶凭截面。）这套机制还能将一个图形所有可能的维度，整理为全序集合。也就是说，莱布尼茨仅依托立体或点，就能定义全部三维范畴：以立体为基底，他将二维规定为截面或边界——再以该边界的截面来定义一维；反之，若从点出发：便可将一维流形定义为点的运动生成，将曲面定义为线的运动生成，依此类推。