第16讲：I Term（积分控制项）——飞机为什么总是差一点？

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本讲知识点

• P Term（比例控制项）为什么无法解决所有误差？
• 什么是长期存在的控制误差？
• I Term（积分控制项）为什么会出现？
• I Term（积分控制项）到底在积累什么？
• I Term（积分控制项）在控制链中的职责是什么？
• 为什么飞机总会存在“总是差一点”的现象？
• I Term（积分控制项）为什么能够消除长期误差？

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本讲对应 Betaflight 源码

文件：

src/main/flight/pid.c

函数：

pidController()

本讲涉及源码：

pidData[axis].I += pidRuntime.pidCoefficient[axis].Ki
    * pidRuntime.dT
    * errorRate;

本讲重点讲解：

errorRate

为什么需要被长期积累，以及：

pidData[axis].I

为什么能够消除长期存在的控制误差。

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回顾上一讲

上一讲中，我们已经得到Rate Error（角速度误差），

并且知道 P Term（比例控制项）负责解决的问题是：现在差多少？

控制链已经推进到了：

Rate Error

↓

P Term

但是，飞机并不会因为拥有了 P Term（比例控制项），就一定能够完全达到目标值。

现实世界中的控制误差，往往比我们想象得更加复杂。

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本讲学习目标

现实中的飞机经常会出现：

总是差一点；

总是慢一点；

总是推不够；

总是需要长期补偿。

因此，本讲将正式进入：

I Term（积分控制项）

去理解它为什么会成为 PID Controller（PID控制器）中负责长期补偿的控制器。

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P Term（比例控制项）已经很好了，为什么还需要 I Term？

假设：

目标：300°/s

现实：250°/s

于是：

Rate Error = 50°/s

P Term（比例控制项）开始工作：

差了 50 -> 开始增加控制量 -> 飞机开始加速

经过一段时间以后：

300°/s -> 290°/s -> 295°/s -> 297°/s -> 298°/s

这时候看起来已经非常接近目标值了, 但是问题来了：

为什么它永远都是：298°/s？而不是：300°/s？

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飞机总会存在长期控制误差

现实中的飞机永远不是一个理想模型。

例如：

• 空气阻力；
• 电机效率变化；
• 电池电压下降；
• 机架振动；
• 重心变化；
• 螺旋桨效率变化。

这些因素都会导致：飞机总是差一点。

例如：目标 300°/s, 现实 298°/s

又或者：目标 300°/s, 现实 295°/s

甚至：目标 300°/s, 现实一直都是 290°/s

此时会出现一种非常有意思的现象：飞机没有完全控制失败；但它也没有完全控制成功。

它会长期停留在总是差一点。

这就是：

长期控制误差（Steady-state Error）。

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P Term（比例控制项）为什么无法解决这个问题？

因为P看到的永远只有：现在差多少。

例如：300 -> 298 只差 2°/s

于是, P：差的不多，我只需要补一点。

但是, 这一点补偿，很可能永远不够。

于是：

298 -> 298 -> 298 -> 298 -> 298

飞机就会长期停留在差一点。

所以：

P看到的是：现在。

I看到的是：长期。

这就是两者最大的区别。

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I Term（积分控制项）到底在看什么？

例如：

第1次循环：差 2°/s

↓

第100次循环：还是差 2°/s

↓

第500次循环：还是差 2°/s

这时候, I发现: 这已经不是偶然误差, 而是长期存在的控制偏差。

于是, I开始不断积累这个误差。

可以简单理解为：

差一点, 记下来

↓

还差一点, 继续记下来

↓

还是差一点, 继续记下来

↓

长期都在差一点, 开始增加长期补偿。

因此, I看到的并不是现在差多少, 而是长期到底差了多少。

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I Term（积分控制项）的职责是什么？

如果用最简单的话去描述：

P负责立即修正，I负责长期补偿。

或者说：

P：现在差多少？

I：为什么一直都在差？

所以：

P负责解决立即误差。

I负责解决长期误差。

直到现在，我们第一次发现：PID中的三个字母，其实负责的是三种完全不同的控制职责。

其中，

P：现在。
I：长期。
D：变化速度。

它们看到的根本不是同一个世界。

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控制链再次推进

现在：

Rate Error

↓

P Term

↓

I Term

已经开始共同参与控制。

这也是 PID Controller（PID控制器）开始变得有趣的地方：

它不是一个控制器，而是多个控制思想共同工作的结果。

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源码补充说明

为了帮助大家回到源码进行阅读，这里简单说明一下源码中出现，但本讲没有展开讲解的几个变量。

dynCi

const float iTermChange = (Ki + pidRuntime.itermAccelerator)
    * dynCi
    * pidRuntime.dT
    * itermErrorRate;

这里的 dynCi 表示 Dynamic Integral Coefficient（动态积分系数）。

它的作用是：动态调整 I Term 的积分速度, 因为飞机在不同的飞行状态下，对 I Term 的需求其实并不完全相同。

我们根据代码来进行讲述：

dynCi = constrainf((1.0f - getMotorMixRange()) * pidRuntime.itermWindupPointInv, 0.0f, 1.0f);

const float itermWindupPoint = pidProfile->itermWindupPointPercent / 100.0f;
pidRuntime.itermWindupPointInv = 1.0f / (1.0f - itermWindupPoint);

首先，机体的调整的姿态空间是有限的，而函数 getMotorMixRange() 就是获取飞机姿态调整空间已占用的百分比。

而 itermWindupPointPercent 就是机体调整空间的百分比阀值，该阀值之内，本次I Term增量完整增加；超过阀值，则按比例缩减，直至不增加。

(1.0f - getMotorMixRange()) / (1.0f - itermWindupPoint) 则表示用余量来计算百分比，如：

itermWindupPointPercent 为80，表示机体调整度从 80% 开始衰减，那么(1.0f - itermWindupPoint)的值为0.2

当机体调整余量充足时，mixRange() 返回 0.6, 计算就是 (1-0.6)/0.2 = 2, dynCi = constrainf(2, 0, 1) = 1。

当机体调整余量不足时, mixRange() 返回 0.9, 计算就是 (1-0.9)/0.2 = 0.5, dynCi = 0.5

需要注意的是：

dynCi 并不会改变 I Term 的控制职责，它只是帮助 I Term 更合理地完成自己的工作。

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pidRuntime.itermAccelerator

它的作用是：为 I Term 提供额外的积分增益补偿。

飞机在一些特殊情况下，例如：

• 大油门变化；
• 快速动作变化；

I Term 的建立速度可能会偏慢。

为了让 I Term 能够更快建立起补偿能力，Betaflight 会临时提高积分速度，因此就引入了：

itermAccelerator（积分加速器）

需要注意的是：它并不是新的 I Term，它只是让原来的 I Term 积分得更快一些。

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pidRuntime.dT

表示：PID Loop（PID控制循环）的时间间隔。

积分 = 时间 × 误差

如果不知道过去了多少时间，控制器就无法知道 这一帧应该积分多少误差。

因此：误差越大, 时间越长, 积分增加越多。

这也是 I Term 之所以被称为 “Integral（积分项）” 的原因。

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小结

因此，这几项参数分别承担着不同的职责：

Ki : 决定 I Term 的基础积分速度

itermAccelerator : 决定是否需要临时提高积分速度

dynCi : 决定当前飞行状态下应该采用怎样的积分速度

dT : 决定这一帧应该积分多少时间

最终得到：iTermChange

虽然源码看起来出现了很多变量，但它们并没有改变 I Term 的控制职责。

本讲真正需要建立的核心思想仍然只有一句话：

I Term（积分项）的职责，就是记住那些长期存在的误差，并持续补偿它们。

其它变量，都只是帮助 I Term 更稳定、更合理地完成自己的工作。

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本讲小结

本讲我们正式进入了 I Term（积分控制项）的控制职责。

P Term（比例控制项）负责解决“现在差多少”的问题，而 I Term（积分控制项）负责解决“为什么一直都在差”的问题。当飞机长期存在控制偏差时，I Term 会不断积累这些长期误差，并逐渐增加补偿量，从而帮助飞机最终达到目标状态。

至此，我们已经完成了 PID Controller（PID控制器）中的两个核心控制职责：

现在差多少？

↓

长期差多少？

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下一讲预告

现在，PID Controller（PID控制器）已经拥有了：

P：现在差多少？

I：长期差多少？

但是，它仍然无法判断：飞机现在的变化是不是太快了？

下一讲，我们将正式进入：

D Term（微分控制项）。

去看看飞控究竟是如何观察变化速度，并让控制变得更加稳定的。