2025年大湾区高一下期末
若实数 $x$, $y \in [0, 2\pi]$,且满足 $\cos(x + y) = \cos x + \cos y$,则称 $x$, $y$ 是 “余弦相关”的.

(1) 若 $x =\frac{\pi}{2}$,求出所有与之 “余弦相关”的实数 $y$;

(2)若实数 $x$, $y$是 “余弦相关”的, 求 $\cos x$ 的取值范围;

(3)若不相等的两个实数 $x$, $y$ 是 “余弦相关”的, 求证: 存在实数 $z$,使得 $x$, $z$为 “余弦相关”的, $y$, $z$ 也为 “余弦相关”的.

(1) 若 $x =\frac{\pi}{2}$,则$\cos \left( \frac{\pi}{2}+y \right) =\cos \frac{\pi}{2}+\cos y$,于是$-\sin y=\cos y$, $\tan y=-1$,又$y \in [0, 2\pi]$,则$\displaystyle y=\frac{3\pi}{4}$或$\displaystyle \frac{7\pi}{4}$.

(2)由$\cos(x + y) = \cos x + \cos y$可知
$$
\cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos x+\cos y,
$$
则
$$
\sin x\sin y+\left( 1-\cos x \right) \cos y=-\cos x,
$$
由辅助角公式可得
$$
\sqrt{\sin ^2x+\left( 1-\cos x \right) ^2}\sin \left( x+\varphi \right) =-\cos x,
$$
即
$$
\sqrt{2-2\cos x}\sin \left( x+\varphi \right) =-\cos x,
$$
则$\sqrt{2-2\cos x}\geqslant \left| -\cos x \right|$,平方可得$\cos^2x+2\cos x-2\leqslant 0$,解得$-\sqrt{3}-1\leqslant\cos x\leqslant\sqrt{3}-1$.又$\cos x\geqslant -1$,
故$-1\leqslant\cos x\leqslant\sqrt{3}-1$.

(3)由题意可知
$$
\cos \left( x+z \right) =\cos x+\cos z,\quad \cos \left( y+z \right) =\cos y+\cos z,
$$
两式相减可得
$$
\cos \left( x+z \right) -\cos \left( y+z \right) =\cos x-\cos y,
$$
由和差化积公式可知
$$
-2\sin \left( \frac{x+y}{2}+z \right) \sin \frac{x-y}{2}=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},
$$
由$x$, $y \in [0, 2\pi]$可知$x-y \in [-2\pi, 2\pi]$,则$\frac{x-y}{2} \in [-\pi, \pi]$且$x-y\neq 0$.若$x=2\pi,y=0$或$x=0,y=2\pi$,
此时$\cos \left( x+y \right)=1\neq \cos x+\cos y=2$,故$\frac{x-y}{2}\neq 0,\pm \pi$,则$\sin \frac{x-y}{2}\neq 0$.

因此
$$
\sin \left( \frac{x+y}{2}+z \right) =\sin \frac{x+y}{2},
$$
解得$\frac{x+y}{2}+z=\frac{x+y}{2}+2k\pi$或
$\frac{x+y}{2}+z+\frac{x+y}{2}=\pi+2k\pi$, $k\in \mathbf{Z}$.
于是$z=2k\pi$或$z=2k\pi+\pi-x-y$, $k\in \mathbf{Z}$.

若$z=2k\pi$, $k\in \mathbf{Z}$,则由$\cos \left( x+z \right)= \cos x+\cos z$可知$\cos x= \cos x+\cos z$, $\cos z=0$,矛盾!

因此$z=2k\pi+\pi-x-y$, $k\in \mathbf{Z}$.

若$0\leqslant x+y<\pi$,则$0\leqslant y<\pi-x$,于是$\cos \left( x+y \right) =\cos x+\cos y>\cos x+\cos \left( \pi -x \right) =0$,则$0\leqslant x+y<\frac{\pi}{2}$,此时$0\leqslant x,y<\frac{\pi}{2}$,
于是$\cos \left( x+y \right) =\cos x\cos y-\sin x\sin y\leqslant \cos x\cos y\leqslant \cos x<\cos x+\cos y$,矛盾!故$x+y\geqslant \pi$.

又因为$2\pi-x$, $2\pi-y\in[0,2\pi]$,且$\cos[(2\pi-x)+(2\pi-y)]
=\cos(x+y)=\cos x+\cos y=\cos(2\pi-x)+\cos(2\pi-y)$,故$2\pi-x,2\pi-y$也是余弦相关的,
故$(2\pi-x)+(2\pi-y)\geqslant\pi$,
即$x+y\leqslant 3\pi$.

于是$\pi\leqslant x+y\leqslant 3\pi$.

要使$z=2k\pi+\pi-x-y\in [0, 2\pi]$, $k\in \mathbf{Z}$,只需取$k=1$,此时$z=3\pi-x-y\in [0, 2\pi]$,经验证可知此时
$$
\cos \left( x+z \right) =\cos x+\cos z,\quad \cos \left( y+z \right) =\cos y+\cos z,
$$
成立.

故存在实数 $z=3\pi-x-y\in [0, 2\pi]$,使得 $x$, $z$为 “余弦相关”的, $y$, $z$ 也为 “余弦相关”的.