2025年北京大学强基计划测试数学试题

1.已知$x^2-y^2=1$,求$\displaystyle\frac{1}{x^2}-\frac{y}{x}$的取值范围.

2.求椭圆$x^2-2xy+2y^2=4$的面积.

3.求函数$\displaystyle\sqrt{3-2x}+\sqrt{3x}$的最大值与最小值之和.

4.求函数$\displaystyle\sqrt{x^2-2x+10}-\sqrt{x^2-4x+5}$的值域.

5.求满足$\overline{ab}=a^2+b^3$的两位数的个数.

6.已知$P(x)=x^3+bx^2+cx+d$,
且$P(1)=2025$, $P(2)=4050$,求$P(5)-P(-2)$.

7.已知$z_1$在$2$与$2i$的线段上, $|z_2|=1$,求$z_1+2z_2$在复平面上扫过的面积.

8.已知$\displaystyle a^{a^3}=3$,求$a^6$.

9.已知$2x^2+y^2=1$,求$x+2y$的最大值.

10.已知$|2\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+2\vec{b}|=1$,
求$|3\vec{a}+4\vec{b}|$的最大值.

11.求$\displaystyle\frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}$的最大值.

12.使得$x^{2025}=2025-ax=2026-bx$有解的$(a,b)$有几组?

13.若$\alpha$、$\beta$是$3\cos x+2\sin x=c$的两解,且$\alpha+\beta\neq k\pi$,求$\tan(\alpha+\beta)$.

14.求$\displaystyle\sum_{i=1}^{1012}(-1)^{i+1}
\cos\frac{i\pi}{2025}$.

15.满足各位数字由2、4、6、8组成,且含偶数个2的2025位数有几个?

16.设$S=\{1,2,\cdots,2025\}$,则满足$A,B\subseteq S$, $A\cap B\neq\varnothing$的二元集$\{A,B\}$有几个?

17.求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2025}[\log_2n]$.

18.设$z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$所有正虚部的根的乘积为$P$,求$P$辐角的主值.

19.若关于$x$的方程$x^3+ax^2-(1-a)^2=0$有三个不同的实根$x_1,x_2,x_3$, 且满足$\displaystyle\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}
+\frac{x_3}{x_1x_2}>\frac{3}{2}$,求实数$a$的取值范围.

20.在$\triangle ABC$中, $D$在$BC$上, $AD$平分$\angle BAC$, $AB=AD=2$, $BD=1$,求$CD$.

参考公众号：73Dsi的小站.