**东京大学2026年入学考试文科试题**

### 第1题
设正实数 $ k $ 以及满足 $ \alpha < \beta $ 的实数 $ \alpha, \beta $ 按如下条件变化:

**条件:** 平面直角坐标系上的抛物线 $ C: y = k(x-\alpha)(\beta-x) $ 的顶点为 $ (-3,1) $，且 $ C $ 与 $ y $ 轴在 $ -2 \leqslant y \leqslant 0 $ 的范围内相交.

求此时由 $ C $ 与 $ x $ 轴围成的图形的面积 $ S $ 的取值范围。

### 第2题
设 $ n $ 为正整数。从平面直角坐标系上满足
$$
\{(x,y)\mid x,y \text{ 是整数},\ 1\leqslant x\leqslant 3,\ 1\leqslant y\leqslant n\}
$$
的 $ 3n $ 个点中随机选取3个点（假设所有选取方式等概率）。
设选出的3个点能作为三角形顶点的概率为 $ p_n $。

(1) 求 $ p_5 $；
(2) 设 $ m $ 为不小于2的整数，求 $ p_{2m} $。

### 第3题
设 $ 0 < a < 1 $，定义函数
$$
f(x) = \frac{a}{8}(x-1)^2 + \frac{2}{a} - 3
$$
再定义函数 $ g(x) $ 如下：对整数 $ n $，
$$
g(x) =\begin{cases}
x - 2n, & 2n \leqslant x < 2n+1, \\
-x + 2n + 2, & 2n+1 \leqslant x < 2n+2.
\end{cases}
$$

(1) 证明：当 $ x \geqslant 4 $ 时，$ f(x) > g(x) $；

(2) 设 $ \dfrac{1}{2}<a<\dfrac{2}{3} $，求平面直角坐标系上 $ y=f(x) $ 与 $ y=g(x) $ 的图象在 $ x \geqslant 0 $ 范围内的公共点个数。

### 第4题
设 $ k $ 为实数，平面直角坐标系上的曲线 $ C $ 定义为 $ y = x^3 - kx $。考虑曲线 $ C $ 上两点 $ P, Q $ 满足的下述条件 $ (*) $：

**条件 $ (*) $:** 原点 $ O $、点 $ P $、点 $ Q $ 互异；曲线 $ C $ 在 $ O, P, Q $ 处的切线中，任意两条切线均相交，且任意两条切线的夹角均为 $ \dfrac{\pi}{3} $。

（注：考虑两条直线的夹角取值范围为 $ \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] $）。

(1) 设 $ -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{6} $，用 $ \tan\theta $ 表示 $ \tan\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) $；

(2) 求存在满足条件 $ (*) $ 的点 $ P, Q $ 时实数 $ k $ 的取值范围；

(3) 当 $ k $ 处于(2)确定的范围时，当 $ P, Q $ 满足条件 $ (*) $ 运动时，设由曲线 $ C $ 在 $ O, P, Q $ 处的切线所围成的三角形的面积为 $ S $（若三条切线交于同一点，则 $ S=0 $），$ S $ 的最大值为 $ M $，最小值为 $ m $。求满足 $ M=4m $ 的实数 $ k $ 的值。

### 东京大学2026年入学考试理科试题

#### 第1题
(1) 求函数 $ f(\theta)=\sin\theta-\theta+\dfrac{\theta^3}{6} $ 在区间 $ -1\leqslant\theta\leqslant 1 $ 上的最大值 $ M $ 和最小值 $ m $。

(2) 对于(1)中确定的 $ M $，证明下列不等式：
$$
\dfrac{7}{8}\pi\leqslant\int_0^{2\pi}\sin(\cos x - x)\,dx\leqslant\dfrac{7}{8}\pi+4M.
$$

#### 第2题
设 $ n $ 为正整数。从平面直角坐标系上满足
$$
\{(x,y)\mid x,y \text{ 是整数},\ 1\leqslant x\leqslant 3,\ 1\leqslant y\leqslant n\}
$$
的 $ 3n $ 个点中随机选取3个点（假设所有选取方式等概率）。
设选出的3个点能作为三角形顶点的概率为 $ p_n $。

(1) 求 $ p_5 $；

(2) 设 $ m $ 为不小于2的整数，求 $ p_{2m} $。

#### 第3题
设以空间直角坐标系原点 $ O $ 为中心、半径为5的球面为 $ S $。设 $ S $ 上互异的3点 $ P,Q,R $ 满足下述条件：

**条件:** $ P,Q $ 位于 $ xOy $ 平面上，且 $ \triangle PQR $ 的重心为 $ G(2,0,1) $。回答下列问题：

(1) 求线段 $ PQ $ 的中点 $ M $ 的轨迹，并在 $ xOy $ 平面上画出该轨迹；

(2) 求线段 $ PQ $ 能通过的区域，并在 $ xOy $ 平面上画出该区域。

#### 第4题
设 $ k $ 为实数，平面直角坐标系上的曲线 $ C $ 定义为 $ y=x^3-kx $。考虑曲线 $ C $ 上两点 $ P,Q $ 满足的下述条件 $ (*) $：

**条件 $ (*) $:** 原点 $ O $、点 $ P $、点 $ Q $ 互异；曲线 $ C $ 在 $ O,P,Q $ 处的切线中，任意两条切线的夹角均为 $ \dfrac{\pi}{3} $。

（注：考虑两条直线的夹角取值范围为 $ \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] $）。

(1) 求存在满足条件 $ (*) $ 的点 $ P,Q $ 时实数 $ k $ 的取值范围；

(2) 当 $ k $ 处于(1)确定的范围时，当 $ P,Q $ 满足条件 $ (*) $ 运动时，设由曲线 $ C $ 在 $ O,P,Q $ 处的切线所围成的三角形的面积为 $ S $（若三条切线交于同一点，则 $ S=0 $），$ S $ 的最大值为 $ M $，最小值为 $ m $。求满足 $ M=4m $ 的实数 $ k $ 的值。

#### 第5题
设复平面上以原点为中心、半径为1的圆为 $ C $。对圆 $ C $ 上的点 $ P(z) $ 和复数 $ \alpha $，令 $ w=(z-\alpha)^3 $。当 $ P $ 在 $ C $ 上运动时，求点 $ Q(w) $ 的轨迹 $ D $。

(1) 设 $ \alpha=-3 $，令 $ w $ 的辐角为 $ \theta $。当 $ P $ 在 $ C $ 上运动时，求 $ \sin\theta $ 能取到的所有值的范围；

(2) 设 $ \alpha $ 满足下列条件：轨迹 $ D $ 同时与实轴的正半轴和负半轴有公共点。求复平面上点 $ R(\alpha) $ 运动区域的面积。

#### 第6题
设 $ n $ 为正整数。定义 $ f(n) $ 为 $ n $ 的正约数中，除以3余1的数的个数，$ g(n) $ 为 $ n $ 的正约数中，除以3余2的数的个数。

(1) 求 $ f(2800),\ g(2800) $；

(2) 证明 $ f(n)\geqslant g(n) $；

(3) 当 $ g(n)=15 $ 时，求 $ f(n) $ 能取到的所有值。

## 京都大学2026年入学考试文科试题

### 第1题
设 $ t $ 是满足 $ 0 < t < 1 $ 的实数。在平面直角坐标系上，取圆 $ C: x^2 + y^2 = 1 $ 上、$ y $ 坐标为 $ t $ 且位于第一象限的点 $ P $。记点 $ P $ 处圆 $ C $ 的切线为 $ l $，设抛物线 $ y = 2 - x^2 $ 与切线 $ l $ 围成的图形的面积为 $ S $。当 $ t $ 在 $ 0 < t < 1 $ 范围内变化时，求 $ S $ 的最小值。

### 第2题
设 $ r $ 是正实数。在棱长为1的正四面体 $ OABC $ 中，在边 $ OA $ 上取点 $ P $。求满足：无论点 $ P $ 在边 $ OA $ 上的哪个位置，以 $ P $ 为球心、半径为 $ r $ 的球面都与边 $ BC $ 无公共点的 $ r $ 的取值范围。

（注：点 $ O,A $ 属于边 $ OA $，点 $ B,C $ 属于边 $ BC $。）

### 第3题
设 $ p $ 是大于3的素数。

(1) 证明：所有不小于 $ 2p $ 的整数 $ N $，都可以表示为 $ N = 3m + pk $，其中 $ m,k $ 为非负整数；

(2) 求无法表示为 $ N = 3m + pk $（$ m,k $ 为非负整数）的非负整数 $ N $ 的个数。

### 第4题
对实数 $ x $，用 $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数（取整函数）。对正整数 $ n $，定义
$$
a_n = \sum_{k=1}^n [\log_3 k].
$$

(1) 求 $ a_{26} $；

(2) 设 $ N $ 为正整数，$ m = 3^N - 1 $，用 $ N $ 表示 $ a_m $。

### 第5题
设 $ n $ 是不小于3的整数。袋中装有编号为1到 $ n $ 的 $ n $ 张卡片（无重复编号），从中同时取出3张卡片，记其中最大的编号为 $ X $，求 $ X $ 的数学期望。

## 京都大学2026年入学考试理科试题

### 第1题
设 $ a $ 是大于1的实数，$ k $ 是实数。定义在 $ 0 < x < 1 $ 上的函数为
$$
f(x) = \frac{1}{x^2 \left( \ln \frac{a}{x} \right)^2},
$$
（其中 $ \ln x $ 为自然对数），求使得曲线 $ y=f(x) $ 与直线 $ y=k $ 恰好有2个公共点的实数对 $ (a,k) $ 的集合，并在坐标平面上画出该集合。

（注：可直接使用极限 $ \lim\limits_{x \to +0} x \ln x = 0 $，无需证明）

### 第2题
设 $ r $ 是正实数。在棱长为1的正四面体 $ OABC $ 中，在边 $ OA $ 上取点 $ P $。求满足：无论点 $ P $ 在边 $ OA $ 上的哪个位置，以 $ P $ 为球心、半径为 $ r $ 的球面都与边 $ BC $ 无公共点的 $ r $ 的取值范围。

（注：点 $ O,A $ 属于边 $ OA $，点 $ B,C $ 属于边 $ BC $）

### 第3题
设 $ n $ 是正整数。证明：对于整系数多项式
$$
(x+1)^{2^{n+1}} - (x^2+1)^{2^n}
$$
其所有系数都能被 $ 2^m $ 整除的正整数 $ m $ 中，最大的 $ m $ 为 $ n+1 $。

### 第4题
在平面上，求满足以下条件 $ (*) $ 的正三角形的边长的最小值。

$ (*) $ 存在一个边长为1的正方形，其4个顶点全部在该正三角形的内部或边上。

### 第5题
设 $ a $ 是满足 $ 0 < a < \pi $ 的实数。记函数 $ y = \sin(x+a) $ 与 $ y = \sin(x-a) $ 的图象在 $ -\dfrac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2} $ 部分围成的区域为 $ D_a $。求将 $ D_a $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所得立体的体积。

### 第6题
设 $ n $ 是不小于3的整数。袋中装有编号为1到 $ n $ 的 $ n $ 张卡片（无重复编号），从中同时取出3张卡片，记其中最大的编号为 $ X $，求 $ X $ 的数学期望。