5.4 最大值与首中时的分布特性

设 \(\{B(t),t\ge0\}\) 是标准布朗运动，不妨设 \(B(0)=0\)。

定义：首次击中 \(a\) 的时间 \(\tau_a=\inf\{t:t\ge0,B(t)=a\}\)

定义：对 \(\forall t > 0, M(t)=\max_{0\le u\le t}B(u)\) 表示 \([0,t]\) 上的最大值。

当 \(a > 0\) 时，显然存在等价关系 \(\{\tau_a \le t\} = \{M(t) \ge a\}\)，因此有 \(P(\tau_a \le t) = P(M(t) \ge a)\)。

Remark：事实上，这与泊松过程中定义的 \(\{S_n\le t\} = \{N(t)\ge n\}\) 类似。主要差别在于泊松过程中讨论离散点情况，这里讨论连续情况。

定理 5.6：对任意 \(a>0\)，\(M(t)\) 和 \(\tau_a\) 的分布密度函数分别为 \[ \begin{aligned} f_{M(t)}(a) &= \sqrt{\frac{2}{\pi t} } e^{-a^2/ 2t} I_{[0,\infty)}(a) \\ f_{\tau_a}(t) &= \frac{a}{\sqrt{2\pi} } e^{-a^2/2t} t^{-3/2}, \quad t > 0 \end{aligned} \] \(\tau_a\) 的 Laplace 变换为 \({\mathbb E}[\exp(-s\tau_a)] = e^{-\sqrt{2s}a}, ~ s>0\)。

证明：\(P(B(t)\ge a) = P(B(t\ge a | \tau_a \le t))P(\tau_a \le t)\)，由于 \(P(B(t)\ge a) | \tau_a\le t) = P(B(t)< a) | \tau_a\le t)=1/2\)，因此可以得到 \(P(M(t)\ge a) = P(\tau_a \le t) = 2P(B(t)\ge a)=\frac{2}{\sqrt{2\pi t} }\int_a^{\infty} e^{-x^2 / 2t}dx\)。于是 \(f_{M(t)}(a)={d(1-P(M(t)\ge a))} / {da}\)，\(f_{\tau_a}(t) = d(P(\tau_a \le t)) / da\)，证毕。

利用上述定理可以到如下结果：

1. \(\tau_a\) 几乎处处有限，即 \(P(\tau_a < \infty)=1\)；
2. \({\mathbb E}\tau_a = \infty\)。

证明：1）\(P(\tau_a<\infty) = \lim_{t\to\infty}=P(\tau_a \le t) = \lim_{t\to\infty} \frac{2}{\sqrt{2\pi} }\int_{a/\sqrt{t} }^{\infty} e^{-u^2/2}du = 1\)；2）\({\mathbb E}[\exp(-s\tau_a)]=e^{-\sqrt{2s}a}\)，两边对 \(s\) 求导得到 \({\mathbb E}[\tau_a \exp(-s\tau_a)] = \frac{\sqrt{2} }{2} a s^{-1/2} e^{-\sqrt{2s}a}\)，令 \(s\to 0\) 即可得到 \({\mathbb E}\tau_a = \infty\)，证毕。

栗子 5.1：

定理 5.7：设 \(\{B(t)\}\) 为标准布朗运动，\(\forall a > 0, y\ge0\) 有 \(P(B(t)\le a-y, M(t)\ge a) = P(B(t) \ge a+y)\)

证明：根据反射性定义 \(B^{\ast}(t) = 2a-B(t)\)，则有 \(\tau_a = \tau^{\ast}_a = \inf\{B^{\ast}(t)=a\}\)，又由于 \(\{M(t)\ge a\} = \{\tau_a \le t\}\)，于是有 \[ \begin{aligned} P(B(t)\le a-y, M(t)\ge a) &= P(B(t)\le a-y, \tau_a\le t) \\ &= P(B^{\ast}(t) \le a-y, \tau_a \le t) \\ &= P(B(t) \ge a+y, \tau_a\le t) \\ &= P(B(t)\ge a+y) \end{aligned} \] 推论 5.7.1：设 \(\{B(t)\}\) 为标准布朗运动，\(\forall a > 0\) 有 \(P(M(t)\ge a) = 2P(B(t)\ge a) = P(|B(t)|\ge a)\).

推论 5.7.2：\(\forall \xi > 0, x\le\xi\)，\(M(t)\) 和 \(B(t)\) 的联合分布密度函数为 \(f_{M,B}(\xi,x) = \sqrt{\frac{2}{\pi} }(\frac{2\xi-x}{t^{3/2} }) \exp(-(2\xi-x)^2/2t) I_{[0,\infty)}(\xi)I_{(-\infty,\xi]}(x)\).

5.5 过零点的反正弦定理

\(\forall t_1 < t_2\)，记事件 \(o(t_1,t_2)=\{\exists t\in(t_1,t_2), B(t)=0\}\)，利用全概率公式有 \[ P(o(t_1,t_2)) = \int_{-\infty}^{\infty} P(o(t_1,t_2) | B(t_1)=x) \frac{1}{\sqrt{2\pi t_1} }e^{-x^2/2t_1} dx \] 利用布朗运动的连续性和对称性有 \[ P(o(t_1,t_2)|B(t_1)=x) = P(\tau_x\le t_2-t_1) = \frac{2}{\sqrt{2\pi(t_2-t_1)} }\int_x^{\infty} e^{-u^2/2(t_2-t_1)} du \] 于是有 \[ P(o(t_1,t_2)) = \frac{1}{\pi\sqrt{t_1(t_2-t_1)} }\int_0^{\infty}\int_x^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2(t_2-t_1)} }dy \cdot e^{-\frac{x^2}{2t_1} }dx \] 这个积分的直接求解非常困难，为求此积分，采用另外的方法，也即反正弦定理。

定理 5.8（反正弦定理）：设 \(B(t)\) 是标准布朗运动，记 \(\bar{o}(t_1,t_2)=\{B(t)\ne 0,\forall t\in(t_1,t_2)\}\)，则 \(P(\bar{o}(t_1,t_2))=\frac{2}{\pi} \arcsin\sqrt{\frac{t_1}{t_2} }\)，且当 \(t_1=xt, t_2=t, 0 < x < 1\) 时，有 \(P(\bar{o}(xt,t))=\frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{x}\).

Remark：这说明布朗运动处处连续但处处不可导。

5.6 布朗运动的推广

5.6.1 带吸收点的布朗运动

设 \(Z(t)=\begin{cases}B(t), & t < \tau_x \\ x, & t\ge \tau_x \end{cases}\)，为求 \(Z(t)\) 的分布，不妨设 \(x > 0\)

（1）当 \(y > x\) 时，\(P(Z(t) \le y)=1\)；

（2）当 \(y=x\) 时，\(P(Z(t)=x) = P(\tau_x\le t) = \frac{2}{\sqrt{2\pi t} }\int_x^\infty e^{-u^2/2t} du\)；

（3）当 \(y < x\) 时，

5.6.2 原点反射的布朗运动

5.6.3 几何布朗运动

令 \(W(t)=e^{B(t)}\)，称它为几何布朗运动，取 \(B(t)\) 的矩母函数 \(\phi(s)={\mathbb E}[e^{sB(t)}]\)，则 \(\phi(s)=e^{ts^2/2}\)，因此 \({\mathbb E}[W(t)]=\phi(1)=e^{t/2}\)，\(D[W(t)] = {\mathbb E}[W^2(t)]-({\mathbb E}[W(t)])^2=\phi(2)-e^t = e^{2t}-e^t\).

栗子 5.2：考虑股票市场收益率，\(S_0,S_n\) 分别表示最初价位和最终价位，\(S_n=S_0 e^{B(t_1)-B(t_0)}\cdots e^{B(t_n)-B(t_{n-1})}\).

5.6.4 布朗运动的积分

令 \(S(t)=\int_0^t B(u)du\)，根据正态分布的性质知道他是正态过程，\({\mathbb E}S(t)=0\)，\(\forall 0\le \delta \le t\)，有 \[ \operatorname{cov}[S(\delta),S(t)] = {\mathbb E}[\int_0^\delta\int_0^t B(u)B(v)dudv] = \int_0^\delta\int_0^t(u\wedge v)dudv=\frac{\delta^2}{2}(t-\frac{\delta}{3}) \]

5.6.5 布朗运动的形式导数

考虑增量比，固定 \(\Delta t > 0\)，令 \(\frac{B(t+\Delta t)-B(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta B(t)}{\Delta t}\)，

5.7 布朗桥与经验分布

5.7.1 布朗桥的基本概念与性质

定义：\(\{B(t),t\ge0\}\) 为标准布朗运动，不妨设 \(B(0)=0\)，令 \(B_{00}(t)=B(t)-tB(1)\)，则称 \(\{B_{00}(t), 0\le t\le 1\}\) 为布朗桥。

根据其定义，可以得到基本性质如下：

1. \(B_{00}(0)=B_{00}(1)=0\)；（？？）
2. \({\mathbb E}[B_{00}(t)]={\mathbb E}[B(t)-tB(1)]=0\)；
3. \(D[B_{00}(t)]={\mathbb E}[B_{00}^2(t)]=t(1-t)\)；
4. 设 \(s\le t\)，\(\operatorname{cov}[B_{00}(s),B_{00}(t)]=s(1-t)\)；
5. \(\{B_{00}(t),0\le t\le1 \}\) 的分布与 \(\{B(t), t\ge0 \}\) 在 \(B(1)=0\) 下的条件分布相同。

5.7.2 经验分布与布朗桥的关系

工程统计中，经常独立抽取多个样本 \(X_1,...,X_n\) 来统计某参量的统计特性，定义经验分布 \(\hat{F}_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{\{X_i\le x\} }\)。假设 \(X_1,...,X_n\) 独立同分布，且 \(X_n\sim F(x)\)，则有：

1. \({\mathbb E}[\hat{F}_n(x)] = F(x)\)
2. \(\operatorname{Var}[\hat{F}_n(x)]=\frac{1}{n}F(x)(1-F(x))\)
3. 任意给定 \(x\)，利用强大数定理得到 任意给定 \(x\)，利用强大数定理得到\(P(\lim_{n\to\infty} \hat{F}_n(x)=F(x))=1\)
4. 任意给定 \(x\)，利用中心极限定理得到 \(n\to\infty\) 时有（依分布收敛）

\[ \frac{\sum_{i=1}^n (I_{\{X_i\le x\} }-F(x)) }{\sqrt{nF(x)(1-F(x))} } \overset{d}{=} {\mathcal N}(0,1) \]

证明：（2）\(\operatorname{Var}[\hat{F}_n(x)]={\mathbb E}[\hat{F}_n(x)^2] - F(x)^2 = \frac{1}{n^2}{\mathbb E}[\sum_{i=1}^n I_{\{X_i\le x\} } \sum_{j=1}^n I_{\{X_j\le x\} } ]\)，展开化简就可以得到性质 2.

（4）记 \(G_n(x)=\sqrt{n}(\hat{F}_n(x)-F(x))\)，容易证明 \({\mathbb E}G_n(x)=0,\operatorname{Var}G_n(x)=F(x)(1-F(x))\)，特别的，根据中心极限定理，当 \(n\to\infty\) 时有 \(G_n(x)\overset{d}{=}G(x)\)，其中 \(G(x)\sim {\mathcal N}(0,F(x)(1-F(x)))\)。

引理 5.1：如果 \(x_1 < x_2\)，则 \({\mathbb E}[G_n(x_1)G_n(x_2)] = F(x_1)(1-F(x_2))\)。

证明：代入展开化简即可得到。

Remark：根据上述引理和 \(G_n(x)\) 的性质可知，当 \(F_n(x)=x\) 时，即 \(X_1,...,X_n\) 服从 \([0,1]\) 上的均匀分布时，\(G_n(x)\) 的极限分别 \(G(x)\) 是布朗桥。

事实上，对于一般的连续分布函数 \(F(x)\)，\(G_n(x)\) 的极限分布 \(G(x)\) 也可以用布朗桥表示。为此，首先给出如下引理。

引理 5.2：随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 连续，则 \(Y=F(X)\) 是一个 \([0,1]\) 均匀分布的随机变量。

证明：\(\forall y\in[0,1]\)，定义 \(x=\inf\{u:F(u)\ge y\}\)，因此有 \(P(F(X)\ge y)) = P(Y\ge y)=1-F(x)=1-y\)，从而有 \(P(Y < y) = y\)，证毕。

基于引理 5.2，可以定义 \(G^{ \# }(x)=B_{00}(F(x))\)，利用布朗桥性质有 \(G^{ \# }(x)\) 与 \(G(x)\) 有相同的分布特性，从而可以推得 \(G_n(x)\) 的极限分布为以 \(F(x)\) 为参变量的布朗桥。

5.7.3 经验分布的误差估计

略。

5.8 带漂移的布朗运动

定义：设 \(\{B(t),t\ge0\}\) 为标准布朗运动，记 \(X(t)=B(t)+\eta t\)，其中 \(\eta\) 为常数，称 \(\{X(t),t\ge0\}\) 为带漂移的布朗运动。

5.8.1 移出区间的概率计算

定理 5.9：对任意 \(A > 0, B > 0\)，定义停时 \(\tau=\inf\{t:X(t)=A ~ or ~ X(t)=-B \}\)，则 \(P_{A}=P(X(\tau)=A) = \frac{e^{2\eta B}-1}{e^{2\eta B}-e^{2\eta a} }\).

5.8.2 首中时问题

5.9 布朗运动的轨道性质

轨道处处连续，几乎处处不可导。

定理：标准布朗运动 \(B(t)\)，对任意的 \(t\ge0\)，有 \[ P(\lim_{h\to 0}\sup\left|\frac{B(t+h)-B(t)}{h}\right|=+\infty) = 1 \] 证明：略。