用于平衡游戏系统的常见数学建模工具之一是描述能力和进程增长的曲线。通过这些曲线可以确保游戏中的对象保持彼此间的平衡关系。

曲线基于俩个观点，成本和收益。大部分情况下，设计师希望在限制游戏节奏的同时，让玩家体验到增长的感觉。玩家使用的对象（包括角色）通常通过提升属性值的方法获得进步，定义完善的曲线可以为后续进程的调整提供极大的帮助。

定义成本和收益：

定义成本和收益是创建能力曲线的第一步，成本和收益需要相互关联，并通过曲线呈现成比例的状态。玩家通过成本交换收益的关系是经济性的，这代表玩家必须相信他们付出所获得的收益和提升是有意义的，如果玩家交换来的资源失去价值，参与感也会大打折扣。

成本和收益通常以玩家相关的属性来表示，例如金币和经验值。成本可能是玩家升到下一级所需要的经验值。在游戏中推动玩家的任何东西都可以是资源。

核心资源：

不同资源的重要程度是存在区别的，这主要体现在玩家的关注度上。确定核心资源的方式是回顾设计表格中对于所有形式属性的描述，确定玩家最依赖或者必须的资源，这通常可以识别出一个特别突出的核心循环和伴随它的资源。在确定了核心资源的多个备选项后，可以通过比较不同资源互相影响的程度来确定最重要的那个资源。最终方法是为所有资源创造进程曲线。

辅助资源：

在确定了核心资源后，围绕核心资源的进程曲线创建次要曲线。辅助资源将用于支撑、维持或者改善核心资源。同时，辅助资源也是玩家间接获得核心资源的方式之一。

特殊情况：

数学工具可以帮助设计师更快和更高效的平衡游戏，但将不可避免地需要直觉来探索最适合游戏的循环平衡。这代表着大量的测试是有益且必要的。

定义成本-收益曲线：

线性曲线：

具有稳定斜率的任意图形，即增长率保持不变的曲线。作为曲线中最简单的一类，其通常也是在游戏中最受限制的曲线。当随着成本的增加，收益的绝对改变量是相同的时，玩家对功能变化的体验会逐渐下降，进而容易产生享乐疲劳，故并未被大量使用。

多项式曲线：

多项式曲线中，y为x的某个倍数，例如y=x², 即y为x的幂函数。这意味着非固定的变化速率，并意味着变化率的变化率将纳入讨论。y值之间的差值为“基础进程比率”，在多项式中，随x的增大，y的“总体进程比率”逐渐趋近于1，即曲线会向直线接近。

例如在角色扮演游戏中，玩家在关卡中遇到的敌人总数呈线性增加，同时击败每个敌人所获得的金币也是线性增加的，则玩家的总收益则呈现二次型曲线。

指数曲线：

指数曲线代表着y是某个数字的x次幂，即y=a^x(a>0且a≠1)。在该算式中，随x的增加，y也会增加，但速率的变化将不会变平，而是逐渐增加。有时指数曲线用于衡量玩家升级所需要的经验值，随着等级的提高，升到下一级的所需时间也呈指数上升，这种增长方式能有效缓解玩家的享乐疲劳。指数曲线可谓在游戏设计中是最为常见的能力和进程曲线。在游戏进程中，使用指数曲线可以帮助设置适当的关卡和其他检查点，并在这些阶段向玩家开放新的收益或者新的挑战。，指数方程可以帮助确定每个阈值。

但作为设计师，时间通常是最明显的衡量标准，你需要确定玩家到达特定阈值所花费的时间，一般从战斗时间和次数方面考虑，同时和挑战强度以及奖励多少挂钩。而使用指数函数可以帮助你确保上述要素都是彼此平衡的。

逻辑曲线：

逻辑曲线较少用于游戏平衡，但仍然需要了解。该曲线因呈现S形状也被称为S形曲线。逻辑曲线可以用于创建具有特定动态平衡的能力曲线，该曲线可模拟许多现实世界的过程，例如社会发展，最初增长缓慢，随后经历快速扩张，之后随着资源消耗而减缓的生态过程。

当多个不同资源遵循逻辑曲线且“堆叠起来”时，玩家将会依次攀爬这条进程曲线。同时将重心在不同的资源之间转移。

分段线性曲线：

当设计师不希望将进程或能力的提升符合纯等式，或者期待创造非平滑的进程曲线时，会手动制作进程和能力曲线。使用一系列重叠的线性曲线来逼近指数曲线，即分段线性曲线，加法和线性插值是常用的方法。

平衡部分：

确定系统中的部分之间是相互平衡的：当某一部分的收益大于另一部分，也应当确保它们与各自的相对成本成比例。

以平衡战斗系统中的武器为例子，每种武器扮演战斗系统中的一个部分。在每把武器具有：攻击，伤害，速度三个属性时，不同武器依据自身特色将具有不同的优势和劣势属性。

需要注意的是，平衡不代表相同，每种武器必须占有一个有效的地位，并具备自身特色。

如上图所示，大部分武器的属性集中在一个狭窄的范围内，而匕首和巨剑则显得较为极端。

为了平衡上述武器，我们需要考虑其成本和收益，首先需要做到的是找出核心资源，并从这个角度考虑相对收益。对于武器来说，核心资源可以是DPS，而与DPS最直接相关的属性就是伤害，而攻击影响命中率，速度影响攻击速度。但我们并不确定每个武器的成本都是平衡的，这些武器的属性值之和并不完全相等。

在此基础上，确定属性权重可以帮设计师理解它们的具体重要性，这也会使得属性具体如何影响战斗系统的信息展示出来。为不同的属性确定了加权倍率后（甚至可以是不连续的倍率），通过计算武器属性值乘以对应倍率之和，即可计算其具体收益。

在调整属性值时，设置一个对象为基准会有很大帮助，尝试将最好理解或者最常见的武器设置为基准属性，并调整其他武器属性使其获得和基准对象匹配的效果。

平衡进程：

平衡同样存在于玩家或其他游戏对象的改变趋势上。例如，一名玩家所控制的军队该以何种趋势获得属性值上的提升。而在大部分游戏中，玩家实力&角色强度会随着游戏的进行而得到提高，也这是成就感的重要来源。在创建平衡进步系统时，首先要确定主要载体属性，并量化进步所需要的资源。

常见的流程时玩家通过积累经验值来获得升级，得到生命值和力量的提升，以及解锁新的技能和内容。这些都包含在进程曲线的考量中，玩家实际上是花费经验值换来属性上的提升。大部分游戏会使用指数函数来描述每升一级所需要的经验值，并保证玩家可以“随数值提升”获得成就感。

有时，游戏会使用多种核心资源，每种资源会提供不同的提升速度，使得玩家在游戏路径的选择中更有策略性，并创造更多有意义的决策。

核心要点是，总是让玩家有“自己正在前进的感觉”，当玩家认为下一次取得进步的机会遥遥无期时，对游戏的参与感会迅速丧失。