概率论
| 常用公式 | 数学描述 |
|---|---|
| 全概率公式 | $P(X) = \sum_n P(X, Y_i) = \sum_n P(X |
| 条件概率公式 | $P(X |
| 贝叶斯公式 | $P(X, Y) = P(X |
统计
切比雪夫不等式
设随机变量 XX 具有数学期望 E(X)=μE(X) = \mu，方差 D(X)=σ2D(X) = \sigma^2，则对于任意正数 ε\varepsilon，不等式
P{∣X−μ∣≥ε}≤σ2ε2P\{ |X - \mu| \geq \varepsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
或者
P{∣X−μ∣<ε}≥1−σ2ε2P\{ |X - \mu| \lt \varepsilon \} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
弱大数定理
设 X1,X2,⋯X_1, X_2, \cdots 是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望 E(Xk)=μ,(k=1,2,⋯ )E(X_k) = \mu, (k = 1, 2, \cdots)。作前 nn 个变量的算术平均 1n∑k=1nXk\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k，则对于任意 ε>0\varepsilon \gt 0，有
limn→∞P{∣1n∑k=1nXk−μ∣<ε}=1\lim_{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu\right| \lt \varepsilon\right\} = 1
伯努利大数定理
设 fAf_A 是 nn 次独立重复试验中事件 AA 发生的次数，pp 是事件 AA 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ε>0\varepsilon \gt 0，有
limn→∞P{∣fAn−p∣<ε}=1\lim_{n \rightarrow \infty} P \left\{ \left| \frac{f_A}{n} - p \right| \lt \varepsilon \right\} = 1
或者
limn→∞P{∣fAn−p∣≥ε}=0\lim_{n \rightarrow \infty} P\left\{ \left| \frac{f_A}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right\} = 0
微积分
泰勒公式
设 nn 是一个正整数，如果定义在一个包含 aa 的区间上的函数 ff 在 aa 点处 n+1n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 xx 都有：
f(x)=∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)f(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n + R_n (x)
当 aa 为 00 时，我们称之为麦克劳林公式。
微分表
| 初等函数 | 导数 |
|---|---|
| tanx\tan{x} | sec2x=1cos2x\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} |
| cotx\cot x | −csc2x=−1sin2x-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} |
| secx\sec x | secxtanx\sec x \tan x |
| cscx\csc x | −cscxcotx-\csc x \cot x |
| arcsinx\arcsin x | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, |
| arccosx\arccos x | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, |
| arctanx\arctan x | 11+x2\frac{1}{1 + x^2} |
| lnx\ln x | 1x\frac{1}{x} |
| exe^x | exe^x |
| xnx^n | nxn−1n x^{n-1} |
| f(x)g(x)f(x) g(x) | f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x) |
| f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} | f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)\frac{f^{'}(x)g(x) - f(x)g^{'}(x)}{g^2(x)} |
| f(g(x))f(g(x)) | f′(g(x))g′(x)f^{'}(g(x))g^{'}(x) |
积分表
| 不定积分 | 积分结果 |
|---|---|
| ∫exdx\int e^x \mathrm{d}x | ex+Ce^x + C |
| ∫αxdx\int \alpha^x \mathrm{d}x | αxlnα+C\frac{\alpha^x}{\ln \alpha} + C |
| ∫lnxdx\int \ln x \mathrm{d}x | xlnx−x+Cx \ln x - x + C |
| ∫logαxdx\int \log_{\alpha} x \mathrm{d}x | 1lnα(xlnx−x)+C\frac{1}{\ln \alpha}(x\ln x - x) + C |
| ∫1xlnxdx\int \frac{1}{x \ln x} \mathrm{d}x | ln(lnx)+C\ln(\ln x) + C |
| ∫cosxdx\int \cos x \mathrm{d}x | sinx+C\sin x + C |
| ∫sinxdx\int \sin x \mathrm{d}x | −cosx+C-\cos x + C |
| ∫sec2xdx\int \sec^2 x \mathrm{d}x | tanx+C\tan x + C |
| ∫csc2xdx\int \csc^2 x\mathrm{d}x | −cotx+C-\cot x + C |
| ∫tanxdx\int \tan x \mathrm{d}x | $-\ln |
| ∫cotxdx\int \cot x \mathrm{d}x | $\ln |
| ∫secxdx\int \sec x \mathrm{d}x | $\ln |
| ∫cscxdx\int \csc x \mathrm{d}x | $\ln |
| ∫sinnxdx\int \sin^n x \mathrm{d}x | −1nsinn−1xcosx+n−1n∫sinn−2xdx+C,∀n≥2-\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫cosnxdx\int \cos^n x \mathrm{d}x | 1ncosn−1xsinx+n−1n∫cosn−2xdx+C,∀n≥2\frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫tannxdx\int \tan^n x \mathrm{d}x | 1n−1tann−1x−∫tann−2xdx+C,∀n≥2\frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x - \int \tan^{n-2} x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫cotnxdx\int \cot^n x \mathrm{d}x | −1n−1cotn−1x−∫cotn−2xdx+C,∀n≥2-\frac{1}{n-1} \cot^{n-1} x - \int \cot^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫secnxdx\int \sec^n x \mathrm{d}x | 1n−1secn−2xtanx+n−2n−1∫secn−2xdx+C,∀n≥2\frac{1}{n-1} \sec^{n-2}x \tan x + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫cscnxdx\int \csc^n x \mathrm{d}x | −1n−1cscn−2xcotx+n−2n−1∫cscn−2xdx+C,∀n≥2-\frac{1}{n-1} \csc^{n-2}x \cot x + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2 |
| ∫arcsinxdx\int \arcsin x \mathrm{d}x | xarcsinx+1−x2+Cx\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C |
| ∫arccosxdx\int \arccos x \mathrm{d}x | xarccosx−1−x2+Cx \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C |
| ∫arctanxdx\int \arctan x \mathrm{d}x | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |
| 定积分 | 积分结果 |
|---|---|
| ∫−∞∞e−αx2dx\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} \mathrm{d}x | πα\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} |
| ∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x} \mathrm{d}x | {n−1n⋅n−3n−2⋯23,n>1∧n%2=1n−1n⋅n−3n−2⋯12⋅π2,n>0∧n%2=0\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, \quad n > 1 \wedge n\%2 = 1 \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, \quad n > 0 \wedge n\%2 = 0 \end{cases} |
线性代数
| 常见概念 | 定义 |
|---|---|
| 奇异矩阵 | 秩不为满秩的矩阵。 |
| 对称矩阵 | A′=AA^{'} = A。 |
| 反对称矩阵 | A′=−AA^{'} = -A。 |
| 特征值 | A−λE=0A - \lambda E = 0 的所有 λ\lambda 解。 |
| 迹 | n×nn \times n 方阵的主对角线上各个元素之和。 |
抽象代数
| 常见概念 | 定义 |
|---|---|