1. 关系运算

关系代数的基本运算主要有并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接和除法运算。
（1）并。计算两个关系在集合理论上的并集，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R∪S的元组包括R和S所有元组的集合，形式定义如下：

式中 t是元组变量（下同）。显然，R∪S=S∪R。

（2）差。计算两个关系的区别的集合，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R-S的元组包
括R中有而S中没有的元组的集合，形式定义如下：

通俗点说，就是属于R但是属于S的元素。

针对这种差运算的应用场景，举个例子来说，就两只股票组合，一个组合包含“东阿阿胶”，“涪陵榨菜”，“同仁堂”。
而另一个组合只包括“东阿阿胶”，“涪陵榨菜”。那这两个的差就是“同仁堂”

（3）交。计算两个关系集合理论上的交集，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R∩S的元组包括R和S相同元组的集合，形式定义如下：

显然，R∩S=R-(R-S)和R∩S=S-(S-R)成立。

（4）笛卡尔积。计算两个关系的笛卡尔乘积，令R为有m元的关系，S为有n元的关系，则R×S是m+n元的元组的集合，其前m个元素来自R的一个元组，而后n个元素来自S的一个元组。形成定义如下：

若R有u个元组，S有v个元组，则R×S有u×v个元组。

要记住笛卡尔积的数量是两者的乘积即可，相当于两者排列组合。

（5）投影（Projection π）。从一个关系中抽取指明的属性（列）。令R为一个包含属性A的关系，则

（6）连接（θ）。θ连接从两个关系的笛卡儿积中选取属性之间满足一定条件的元组，记作：

其中A和B分别为R和S上元数相等且可比的属性组。θ为“=”的连接，称为等值连接，记作：

如果两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中将重复的属性去掉，则称为自然连接，记作：

θ连接是对笛卡尔积进行处理，虽然现在我还不知道这个到底是干什么用的。

（7）选择（Select σ）。

从关系R中选择满足条件的元组。

总结：

关系代数的五个基本操作可直接转换成元组关系演算表达式，它们是：并、差、笛卡尔积、投影和选择。

口诀：选择选行，投影选列，连接合并去残，笛卡尔积两两交合，自然连接笛卡尔积后选择等值然后去掉重复属性。

二、元组演算

在元组演算中，元组演算表达式简称为元组表达式，其一般形式为{t|P(t)}，其中，t是元组变量，表示一个元数固定的元组；P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表
达式。{t|P(t)}表示满足公式P的所有元组t的集合。

在元组表达式中，公式由原子公式组成，原子公式有下列两种形式：
（1）R(s)，其中R是关系名，s是元组变量。其含义是“s是关系R的一个元组”。
（2）s[i]θu[j]，其中s和u是元组变量，θ是算术比较运算符，s[i]和u[j]分别是s的第i个分量和u的第j个分量。原子公式s[i]θu[j]表示“元组s的第i个分量与元组u的第j个分量之间满足θ运算”。例如，“t[2]<u[3]”表示元组t的第2个分量小于元组u的第3个分量。这个原子公式的一种简化形式是s[i]θa或aθu[j]，其中a为常量。例如，“t[4]=3”表示t的第4个分量等于3。

在一个公式中，如果元组变量未用存在量词“ ”或全称量词“ ”等符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。公式的递归定义如下。

（1）每个原子是一个公式，其中的元组变量是自由变量。
（2）如果P1和P2是公式，那么， P1、P1∨P2、P1∧P2和P1→P2也是公式。
（3）如果P1是公式，那么( s)(P1)和( s)(P1)也都是公式。
（4）公式中各种运算符的优先级从高到低依次为θ、 和 、 、∧和∨、→。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。
（5）公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。

在元组演算的公式中，有下列四个等价的转换规则：
（1）P1∧P2等价于 ( P1∨ P2)。
（2）P1∨P2等价于 ( P1∧ P2)。
（3）( s)(P1(s))等价于 ( s)( P1(s))；( s)(P1(s))等价于 ( s)( P1(s))。
（4）P1→P2等价于 P1∨P2。
关系代数表达式可以转换为元组表达式，例如，R∪S可用{t|R(t)∨S(t)}表示，R-S可用{t|R(t)∧S(t)}表示

看了上面的这么一段话，完全不懂元祖演算是什么玩意，哈哈哈。

测试习题

试题1
若对关系R（A，B，C，D）进行π1．3（R）运算，则该关系运算与__B__等价，表示__B__。
A．πA=1,C=3（R） B．πA=1∧C=3（R） C．πA,C（R） D．πA=1∨C=3（R）

A．属性A和C的值分别等于1和3的元组为结果集
B．属性A和C的值分别等于1和3的两列为结果集
C．对R关系进行A=1、C=3的投影运算
D．对R关系进行属性A和C的投影运算

试题2
若关系R、S如图5-3所示，则R与S自然连接后的属性列数和元组个数分别为__B__；
π1,4(σ3=6(R×S))B。
图5-3关系R与S
（3）A．4和3 B．4和6 C．6和3 D．6和6
（4）A．πA,D(σC=D(R×S))B．πA,R.D(σS.C=R.D(R×S))
C．πA,R.D(σR.C=S.D(R×S))D．πR.A,R.D(σS.C=S.D(R×S))

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