对于这样一个方程：

$$ Ax+By=a\\ Cx+Dy=b $$

消去$x$，可以得到：

$$ (D-CA^{-1}B)y = b-CA^{-1}a $$

如果说有一个矩阵：

$$ M=\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} $$

那么$A$在$M$中的Schur补，就是$S_A=D-CA^{-1}B$。同样，$D$在$M$中的Schur补，就是$S_D=A-BD^{-1}C$那么这个东西有一个名字，肯定说明它很重要，从几何角度怎么理解之？就来探讨探讨。

我们现在掌握的东西是——Schur补这个东西和消元有着密切的联系。它的含义是：消除两组坐标之间的耦合以后，留在其中一组坐标上的几何。

投影角度

假设我们有一个二次型：

$$ q(x,y)=ax^2+2bxy+dy^2=C $$

假设它是正定的，那么它就可以描述一个椭圆。这里$C$是一个常数，设一个定值便于我们研究图形。比如$b=0$的时候，很显然就是一个椭圆，当$b\neq 0$的时候，假设形状还是一个椭圆，那么就说明$x$方向和$y$方向出现了互相的影响。假设我们的图形是$a=0.6,b=1,d=4,C=5$，那么图像就是：

那么我们到这里就要抛出一个和消元很类似的问题：我们想知道这个椭圆在$x$方向能够延伸多远。通过图像可以看出来，这个点在$(-4, -3.5)$，这个区间上。可能有读者就会说了，那直接令$y=0$不就行了？得到$ax^2=C$。那么它的图像是：

发现两条线是在-3这个值的右边，并不是我们能延伸最远的地方，这就是因为，我们实际上得到的是椭圆与$x$轴相交的部分，也就是一个截面。我们要的是投影。也就是说，我们现在只是沿着$x$轴给椭圆剖成了两部分，没有得到延伸最远的点。我们要的是投影，可以联想我们从y轴上方打一束平行光，要看x轴上的影子最远能到哪里，对于这些点，我们不一定就要$y=0$。我们可以把整个形状做一个变换：

$$ \begin{aligned} q(x,y) &= dy^2+2bxy+ax^2\\ &= d\left(y+\frac{b}{d}x\right)^2 + \left(a-\frac{b^2}{d}\right)x^2. \end{aligned} $$

固定$x$，$y$就可以随便变化，达到最远的$x$，前一项恒非负，那么$y=-\frac{b}{d}x$。这个时候，最远距离实际上是：

$$ x_{max}=\sqrt{\frac{Cd}{ad-b^2}}=\sqrt{\frac{C}{a-\frac{b^2}{d}}} $$

画在图里就是：

这些都是中学数学的小把戏，不过我们需要看看，为什么会这样——延伸最远的距离，要比$x=0$截面的结果要远。

$y=0$实际上相当于直接不考虑$y$带来的影响，但是实际上，由于两个方向是耦合的，是彼此影响的。$y$方向的变化仍然在幕后活动，只是我们最终只关心它对$x$产生的结果。这和我们的消元一致，我们消去了$x$，但是$x$对$y$还有影响，不能忽略。这个影响就是我们的$-\frac{b^2}{d}$。

实际上这就对应着我们的Schur补，二次型的矩阵是：

$$ M=\begin{bmatrix} a & b\\ b & d \end{bmatrix} $$

那么，消元之后，$x$的分量（$a$的Schur补）就是$a-\frac{b^2}{d}$，这恰好就是我们上面对于Schur补的定义。

推广一点，考虑椭球：

$$ q(x,y)\leq 1. $$

里面的$x,y$都是向量，那么令$y=0$，得到的是：

$$ x^TAx\leq1. $$

它描述了原椭球与$y=0$的截面。描述的是直接切开原几何体以后看到的形状。但是，如果我们将整个椭球投影到$x$空间，那么一个$x$属于投影，当且仅当存在某个$y$，使得

$$ q(x,y)\leq1. $$

这等价于

$$ \min_y q(x,y)\leq1. $$

于是得到

$$ x^T \left( A-BD^{-1}B^T \right)x \leq1. $$

也就是说Schur补描述的是投影后的有效几何。

解耦角度

从矩阵角度看来，我们可以把二次型进行变换：

$$ \begin{aligned} q(x,y) ={}& \left( y+D^{-1}B^Tx \right)^T D \left( y+D^{-1}B^Tx \right) \\ &+ x^T \left( A-BD^{-1}B^T \right)x. \end{aligned} $$

这个矩阵就是：

$$ M=\begin{bmatrix} A & B\\ B^T & D \end{bmatrix} $$

记$S=A-BD^{-1}B^T$，我去，这就是：

$$ q(x,y')=y'^TDy'+x^TSx $$

也就是说，通过Schur补，我们可以把纠缠不清的方向解耦。

测量角度

我们都知道，二次型衡量了一种测量，也就是对于正定矩阵：

$$ M=\begin{bmatrix} a & b\\ b & d \end{bmatrix} $$

定义了一个内积：

$$ \langle u,v\rangle_M=u^TMv $$

那么——Schur补就是帮助我们找到在这个测量方向下正交的两个方向。标准基在这个测量方向下不一定正交：

$$ \langle e_1,e_2\rangle_M=b $$

那么就可以构造：

$$ e_1'=e_1-\frac{b}{d}e_2 $$

使得：

$$ \langle e_1', e_2\rangle_M=0 $$

那么，新的方向的长度就是：

$$ \langle e_1',e_1'\rangle_M=a-\frac{b^2}{d} $$

Schur 补，就是把一个方向关于另一个方向做 Gram–Schmidt 正交化以后，剩余方向的新平方长度。只不过，这个正交化是在新的测量方式下做的。