微分方程框架

一阶微分方程

可分离变量型

形如：y′=f(x)⋅g(y){\rm{y}}' = f(x) \cdot g(y)，有：

进一步的，可通过换元得到以上形式的，也可以对其分离变量，如：

齐次型

形如y′=f(yx)y'=f(\frac{y}{x})或1y′=f(xy)\frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})，按照上述方法换元转换为分离变量型，以y′=f(yx)y'=f(\frac{y}{x})为例，令u=yxu=\frac{y}{x}，有：

一阶线性型

形如：y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)，使用以下公式计算（由于是应试，推导步骤略）：

上式为一阶线性微分方程的通解公式，其中，式中的∫p(x)dx{\int p (x)dx}为p(x)p(x)的某一个原函数。

注：上述公式中若∫p(x)dx=ln⁡∣φ(y)∣\int p (x)dx = \ln \left| {\varphi (y)} \right|，该绝对值在上述公式中最后可以去掉，产生的±±可以合并到常数CC中得到常数DD。

二阶微分方程（可降阶）

形如：y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')，即缺yy型，令y′=p,y′′=p′y'=p,y''=p'，有：

由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到p=y′=φ(x,C1)p=y'=\varphi(x,C_1)，则可求得原微分方程通解：

形如：y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')，即缺xx型，令y′=p,y′′=p′=dpdx=dpdy⋅dydx=dpdy⋅py'=p,y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot p，有：

由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到p=y′=φ(y,C1)p=y'=\varphi(y,C_1)，分离变量后积分即可求得原微分方程的通解：

高阶常系数线性微分方程*

对于形式为：y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)，y′′+py′+qy=f1(x)+f2(x)y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)求解步骤如下：

1. 写出方程λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0，解出λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2或共轭复根；
2. 根据以下类型，写出齐次线性微分方程的通解：
   
   y={C1eλ1x+C2eλ2x,p2−4q>0(roots: λ1≠λ2)(C1+C2x)eλx,p2−4q=0(roots: λ1=λ2=λ)eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx),p2−4q<0(roots: α±βi) y = \begin{cases} C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}, & p^2 - 4q > 0 \quad (\text{roots: } \lambda_1 \neq \lambda_2) \\ (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}, & p^2 - 4q = 0 \quad (\text{roots: } \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda) \\ e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x), & p^2 - 4q < 0 \quad (\text{roots: } \alpha \pm \beta i) \end{cases}
3. 对于第一种形式，直接根据自由项f(x)f(x)的形式设特解，对于第二种形式需分别根据自由项f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x)的形式设两个特解，然后相加得到微分方程的特解，特解形式如下：
   
   y∗={eαxQn(x)xk,f(x)=Pn(x)eαxeαx[Ql(1)(x)cos⁡βx+Ql(2)(x)sin⁡βx]xk,f(x)=eαx[Pm(x)cos⁡βx+Pn(x)sin⁡βx] y^* = \begin{cases} e^{\alpha x} Q_n(x) x^k, & f(x) = P_n(x) e^{\alpha x} \\ e^{\alpha x} \left[ Q_l^{(1)}(x) \cos \beta x + Q_l^{(2)}(x) \sin \beta x \right] x^k, & f(x) = e^{\alpha x} \left[ P_m(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x \right] \end{cases}
   • 上式中的eαxe^{\alpha x}直接从自由项中照抄，QnQ_n为xx的nn次一般多项式，l=max{m,n}l=max\{m,n\}，Ql(1),Ql(2)Q_l^{(1)},Q_l^{(2)}分别为xx的两个不同的ll次一般多项式。
   • kk在p2−4q≥0{p^2} - 4q \ge 0时：α\alpha与所有特征根都不相等，此时k=0k=0；与其中一个特征根相等，k=1k=1；与所有特征根相等，k=2k=2。
   • kk在p2−4q<0{p^2} - 4q < 0时：α±βi\alpha \pm \beta i不是特征根，此时k=0k=0；α±βi\alpha \pm \beta i是特征根，k=1k=1。

最后，将齐次微分方程的通解加上该微分方程的一个特解即是非齐次微分方程的通解，简单来说就是先写齐次通解再设非齐次特解，相加得非齐次通解。

对于y(n)(n≥3)y^{(n)}(n \ge 3)的情形：

形如y′′′+p1y′′+p2y′+p3y=0y'''+p_1y''+p_2y'+p_3y=0，同样的写出特征方程：λ3+p1λ2+p2λ+p3=0\lambda ^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+p_3=0，解得λ1,2,3\lambda_{1,2,3}，然后根据以下不同情况直接写出通解：

1. 若λi\lambda_i为单实根：CeλxCe^{\lambda x};
2. 若λi\lambda_i为kk重实根：(C1+C2x+C3x2+⋯+Ckxk−1)eλx(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda x}；
3. 若λi\lambda_i为单复根α±βi\alpha\pm\beta i：eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)。

将上述每一个特征根产生的项相加，得到yy的齐次通解。

Henry 2023-09-06