标 题: 数学思维
时 间: Tue Mar 15 01:40:43 2005
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对于数学这种严谨和偏于形式化思维的特点，难以很快接受
是很自然的。问问我们数学系的同学，也是从这一关过来的。
真正一开始就习惯甚至能使用这种思维的人是极少的一部分。

建议：
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(一) 对数学的严格化要有充分的心理准备。数学命题和概念
的陈述必须清晰而可“操作”，证明要求逻辑上的说服力。

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(二) 可以看点普及性的书，在具体的情境中理解数学严格性
的要求及其力量。推荐书目：

1) ---<古典几何学> 中有关欧氏几何的思想脉络的解说，
尤其是关于第一次数学危机(无理数)的部分。 
(项武义著，北大图书馆有借。)

2) ---<三角形内角和等于180度吗？> ，对第二次数学危机
(平行公理，或者叫第五公设)的解决过程的完美解说。
(梅向明著，北京出版社，20年前的老书。
国家图书馆中文图书第一外借库可借，索书号/O124-49/1)

3) ---<证明与反驳>，以欧拉示性数和闭曲面的拓扑分类为
材料，妙趣横生的寓言故事。形象解释了反例在数学中的
绝对重要的地位，并且可以帮助你明白数学的非形式化的
创造过程。
(拉卡托斯著，康宏逵译。北大图书馆有好几本。)
(估计你是哲学系的，应该知道这两位的大名。)

4) ---<数学证明>，用丰富的个例解释了数学“证明”的
含义和必要性。比抽象地理解逻辑严格性要好得多。
(萧文强著，江苏教育出版社)
(作者好象曾经是香港中文大学的教师。)

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(三) 看点数学史的书。当然最好是有数学专业的朋友和你聊天，
那就更轻松了。历史上有过许多著名的证明，其思想方法是共通的，
并且有着超出数学范围的深刻含义。

----第一类是所谓“不存在性”的证明：
1) 不可公度的线段(无理数)；
2) Euler 对“哥尼斯堡七桥问题”的解决；
3) Galois 和 Abel 对于一般高次方程不可根式求解的证明；
4) 三大尺规作图的不可能性；
5) pi 是无理数和超越数的证明；
6) 非欧几何其实就是“第五公设在其它四条公设基础上不可证”
   的另一种说法，参看前面列出的梅向明的书；
7) Cantor 对于实数集不可数的证明，以及“每个集合的幂集都大于此集合”的定理；

8) S^2 上没有处处非零的向量场(Poincare-Hopf 定理)；
9) Hilbert 对于双曲平面不可能等距浸入 R^3 的证明；
10) 最著名的一个：Fermat 大定理；
11) 最绝的一个：G&ouml;del 关于完备公理体系不存在的证明。

----第二类是所谓“存在性”证明(非构造)：
1) Euclid 关于素数有无穷多个的证明；
2) Gauss 对代数基本定理的证明
3) Hilbert 有关经典不变量理论的工作；
4) Cantor 关于超越数存在的证明；
5) Brouwer 等人发现的一系列不动点定理；

----再看看历史上借助直观而误入歧途的例子：
1) Pythgoras 关于几何量必可公度的错误断言；(参看推荐书目1)
2) 对于第五公设的无效证明；                (参看推荐书目2)
3) 历史上曾经有大批数学家误认为连续函数可导，
   被 Weierstrass 的著名反例驳倒；

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四) 两个可以真正强化你的数学/逻辑思维的路子：
1)
重新学习高等数学---不过要用数学专业的<数学分析>教材。重点不是解题，
而是对命题和反例多注意，包括对极限和连续的有关概念的深入辨析。
最后要求是理解实数连续性公理的逻辑必要性。
实在达不到，能对于 epsilon-delta 语言的意义有充分认识也行。
2)
和别人讨论一些具体的趣味性的游戏数学问题。同样可以很好地强化对于
数学思维的理解和运用。(看在熟人份上，可以找我讨论，嘻嘻。:))

至于如何在你原有的物理思维基础上因势利导，这个我可说不好了。
怕说外行话啊，呵呵。