1. 正多面体 2. Platonic-solid 2.1 判断依据 2.2 简单证明 2.3 同心球 2.4 相关计算公式 2.5 正多面体数据表 3. Blender绘制正多面体
正多面体 (regular polyhedron) 是指以全等正多边形为面的多面体。
它的对称群 (symmetry group) 作用于其所有面（或称旗面 flags）上，传递性 (transitively) 成立。
正多面体具有高度对称性 (symmetrical)，边传递性 (edge-transitive)、顶点 (vertex) 传递性和面 (face) 传递性均成立。
在经典语境中，正多面体有许多不同的等价定义； 一种常见的定义是，其所有面都是全等正多边形，且围绕每个顶点以相同的方式组装而成。
缩减到4个字: 等边等角
种类
本文只考虑 五种凸正多面体 柏拉图立体
正多面体的作法收录于《几何原本》：
判断正多面体的依据有三条
一个凸多面体，各个顶角相等；各条棱边都相等，是否必然是正多面体？
正多面体，由多个正多边形组成。
正多边形，边数 为 n ，每个内角: 180 * (n – 2) / n < 360 / 3 = 120
正n变形内角分别为：
n=3，内角60°；n=4，内角90°；n=5，内角108°；n=6，内角120°…
正6边形 及更多边的内角都大于等于120度，无法成为正多面体的面。
所以正多面体的面，只能是，正3，4，5边形。
其中：
正多面体具有三个相关的球体（其他非正多面体至少缺少一种），其球心位于同一个点上：
每个柏拉图立体都可以被赋予一对整数 { p , q }，
这对整数 { p , q } 被称为施莱夫利符号，它给出了多面体的组合描述。
| Platonic solids | Tetrahedron | Cube | Octahedron | Dodecahedron | Icosahedron |
| Face 面数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| 构成面 | ▲△▲ | □■□ | ▲△▲△ | 5边形 | ▲△▲△▲ |
| 单面的顶点 p | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 |
| 单顶点相邻的面 q | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
| Vertex 顶点 V=pF/q | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| Edge 边线 E=pF/2 | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Face 面数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| 对偶多面体 | 自己 | 相互 ⇄ 对偶 | 相互 ⇄ 对偶 | ||
| 柏拉图立体 | 正四面体 | 立方体 | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 |
| 边长 a | a | a | a | a | a |
| 表面积 Surface area |
√3 *a2 ≈ 1.732a2 |
6a2 | 2√3 *a2 ≈ 3.464a2 |
3*√(25+10√5)a2 ≈ 20.65a2 |
5√3a2 ≈ 8.66a2 |
| 体积 Volume |
1/12 *√2 *a3 ≈ 0.118a3 |
a3 | √2 /3 *a3 ≈ 0.471a3 |
1/4(15+7√5)a3 ≈ 7.663a3 |
5/12 * (3+√5)a3 ≈ 2.182a3 |
| 二面角角度 Dihedral angle |
acos(1/3) ≈ 70°52’ |
90° | acos(-1/3) ≈ 109°28’ |
acos(-√5/5) ≈ 116°57’ |
acos(-√5/3) ≈ 138°19’ |
| 外接球半径 R circumscribed |
√6 / 4 *a ≈ 0.612a |
√(3/4) *a ≈ 0.866a |
a / √2 ≈ 0.707a |
√6/4 * √(3+√5)a ≈ 1.401a |
a/4 * √(10+2√5) ≈ 0.951a |
| 中分球半径 ρ midsphere |
(1/√2)/2 ≈ 0.354a |
√2/2 * a ≈ 0.707a |
a/2 ≈ 0.5a |
a((1+√5) / 2)2 / 2 ≈ 1.309a |
a(1+√5) / 4 ≈ 0.809a |
| 内切球半径 r inscribed |
√6 / 12 *a ≈ 0.204a |
a/2 ≈ 0.5a |
a / √6 ≈ 0.408a |
a/4 * √((50+22√5)/5) ≈ 1.114a |
a/12 * √3 (3+√5) ≈ 0.756a |
对偶多面体的特点是，顶点数和面数互调。适当调整边长，可以互相内切或外接。
更多画法:
利用对偶关系
正多面体，每个面的中心点相连接，形成对偶多面体。
每个面中心和相邻面中心连接产生的边数对应原本这2个面相邻边，总边数保持不变。
顶点数和面数则相反。
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