📐 典型例题

题：求函数 $y=x+2\sqrt{1-x}$ 的值域。

思路：直接求导可行，但换元更体现化归思想。令 $t=\sqrt{1-x}\geqslant 0$，则 $x=1-t^2$，代入得 $y=1-t^2+2t=-(t-1)^2+2$。问题化归为求二次函数在 $t\in[0,+\infty)$ 上的值域。当 $t=1$ 时 $y_{\max}=2$；当 $t\to+\infty$ 时 $y\to-\infty$。故值域为 $(-\infty,2]$。
化归路径：无理函数 $\xrightarrow{\text{换元}}$ 二次函数 $\xrightarrow{\text{配方}}$ 最值问题。

📐 典型例题

题：关于 $x$ 的方程 $x^3-3x+a=0$ 有三个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围。

📐 典型例题

题：求 $y=\sqrt{x^2+4x+5}+\sqrt{x^2-2x+2}$ 的最小值。

思路：直接求导极其繁琐。配方后 $y=\sqrt{(x+2)^2+1}+\sqrt{(x-1)^2+1}$，化归为几何问题：$x$ 轴上动点 $P(x,0)$ 到定点 $A(-2,1)$ 与 $B(1,1)$ 的距离之和 $|PA|+|PB|$ 的最小值。作 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(-2,-1)$，则 $|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|\geqslant |A'B|=\sqrt{(1+2)^2+(1+1)^2}=\sqrt{13}$。当且仅当 $P$ 在 $A'B$ 与 $x$ 轴交点时取等。
化归路径：代数式子 $\xrightarrow{\text{配方}}$ 距离和 $\xrightarrow{\text{对称}}$ 两点之间线段最短。

📐 典型例题

题：数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求通项公式。

思路：递推式 $a_{n+1}=2a_n+3^n$ 既非等差也非等比，直接迭代会产生复杂的和式。通过待定系数法构造：设 $a_{n+1}+\lambda\cdot 3^{n+1}=2(a_n+\lambda\cdot 3^n)$，展开对比得 $\lambda=-1$。令 $b_n=a_n-3^n$，则 $b_{n+1}=2b_n$，且 $b_1=-2$。新数列 $\{b_n\}$ 化归为熟悉的等比数列，$b_n=-2^n$，故 $a_n=3^n-2^n$。
化归路径：非齐次递推 $\xrightarrow{\text{构造}}$ 齐次等比数列 $\xrightarrow{\text{通项}}$ 回代得解。

📐 典型例题

题：设 $f(x)=x^2-2x$，$g(x)=ax+2$（$a>0$）。若对任意 $x_1\in[-1,2]$，存在 $x_2\in[-1,2]$，使得 $f(x_1)=g(x_2)$，求 $a$ 的取值范围。

思路：正面理解「任意…存在…」的量化逻辑极易混乱。化归为集合语言：条件等价于 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的值域是 $g(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的值域的子集。$f(x)$ 值域为 $[-1,3]$；$g(x)$ 因 $a>0$ 单调递增，值域为 $[2-a,2+2a]$。故需 $[-1,3]\subseteq[2-a,2+2a]$，即 $2-a\leqslant -1$ 且 $2+2a\geqslant 3$，解得 $a\geqslant 3$。
化归路径：任意存在性命题 $\xrightarrow{\text{逻辑转化}}$ 值域包含关系 $\xrightarrow{\text{求值域}}$ 不等式组。