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（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
【2026年高考全国2卷数学真题第15题】【本小题满分13分】某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出有关“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图。
分组区间依次为：\([345,355),[355,365),[365,375),[375,385),[385,395),[395,405),[405,415),[415,425]\)，组距为\(10\)；
各组\(\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}\)数值依次为：\(0.005，0.010，0.020，0.025，0.015，0.015，0.005，0.005\)。
（1）求第一四分位数和中位数；
（2）设\(p\)为首次故障时间小于\(365\)天的概率估计值。
（i）求\(p\)；
（ii）已知该工厂向某用户销售了\(100\)件电子元件，\(X\)为这\(100\)件产品首次出现故障时间小于\(365\)天的件数，若\(X\sim B(100,p)\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。
解答
前置计算：求每组频率
每组频率 = $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}} \times $ 组距，组距\(=10\)
\([345,355)\)：\(0.005 \times 10 = 0.05\)
\([355,365)\)：\(0.010 \times 10 = 0.10\)
\([365,375)\)：\(0.020 \times 10 = 0.20\)
\([375,385)\)：\(0.025 \times 10 = 0.25\)
\([385,395)\)：\(0.015 \times 10 = 0.15\)
\([395,405)\)：\(0.015 \times 10 = 0.15\)
\([405,415)\)：\(0.005 \times 10 = 0.05\)
\([415,425]\)：\(0.005 \times 10 = 0.05\)
校验总频率：\(0.05+0.10+0.20+0.25+0.15+0.15+0.05+0.05 = 1\)，数据无误。
（1）求第一四分位数\(Q_1\)、中位数\(M\)
① 第一四分位数（对应累计频率\(0.25\)）
累计前1组：\(0.05 < 0.25\)
累计前2组：\(0.05 + 0.10 = 0.15 < 0.25\)
累计前3组：\(0.15 + 0.20 = 0.35 > 0.25\)
因此\(Q_1\)落在区间\([365,375)\)内。
计算公式：
$Q_1 = $区间左端点 $+ \dfrac{目标累计值 - 左侧累计频率}{本组频率} \times $ 组距
代入数值：
\(Q_1 = 365 + \dfrac{0.25 - 0.15}{0.20} \times 10\)
\(Q_1 = 365 + \dfrac{0.10}{0.20} \times 10\)
\(Q_1 = 365 + 5 = 370\)
② 中位数（对应累计频率\(0.5\)）
累计前3组：\(0.35 < 0.5\)
累计前4组：\(0.35 + 0.25 = 0.60 > 0.5\)
因此中位数\(M\)落在区间\([375,385)\)内。
代入公式：
\(M = 375 + \dfrac{0.5 - 0.35}{0.25} \times 10\)
\(M = 375 + \dfrac{0.15}{0.25} \times 10\)
\(M = 375 + 6 = 381\)
（2）(i) 求\(p\)
首次故障时间小于\(365\)天，对应区间\([345,355),[355,365)\)
\(p = 0.05 + 0.10 = 0.15\)
（2）(ii) 求\(E(X)\)、\(D(X)\)
由\(X\sim B(100,p)\)，二项分布公式：
期望：\(E(X) = n \cdot p\)
方差：\(D(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\)
代入\(n=100，p=0.15\)：
\(E(X) = 100 \times 0.15 = 15\)
\(D(X) = 100 \times 0.15 \times (1-0.15)\)
\(D(X) = 100 \times 0.15 \times 0.85 = 12.75\)
一题多解思路（比例列式法，求四分位数/中位数）
以中位数举例：
设中位数在区间\([375,385)\)内向右偏移\(x\)天，区间总长\(10\)，
左右比例相等：\(\dfrac{x}{10} = \dfrac{0.5 - 0.35}{0.25}\)
解得\(x = \dfrac{0.15}{0.25} \times 10 = 6\)
中位数\(= 375 + 6 = 381\)，和之前答案一致。
第一四分位数同理：
设偏移\(x\)天，\(\dfrac{x}{10} = \dfrac{0.25 - 0.15}{0.20}\)，得\(x=5\)，\(Q_1=365+5=370\)。
【2026年高考全国2卷数学真题第16题】【本小题满分15分】如图，在三棱锥\(A-BCD\)中，点\(E\)在\(BD\)上，\(AE \perp CE\)，\(AE \perp DE\)，\(CD \perp AD\)。
(1) 求证：\(CD \perp AB\)；
(2) 若\(DE=2\)，\(BE=1\)，\(AE=\sqrt{2}\)，\(CD=2\sqrt{3}\)。求直线\(AD\)与平面\(ABC\)所成角的正弦值。
(1) 证明
已知\(AE \perp DE\)，\(AE \perp CE\)，
\(DE \cap CE = E\)，\(DE、CE \subset\)平面\(BCD\)，
根据线面垂直判定定理，得\(AE \perp\)平面\(BCD\)。
又\(CD \subset\)平面\(BCD\)，因此\(AE \perp CD\)。
已知\(CD \perp AD\)，且\(AE \cap AD = A\)，\(AE、AD \subset\)平面\(ABD\)，
根据线面垂直判定定理，得\(CD \perp\)平面\(ABD\)。
又\(AB \subset\)平面\(ABD\)，故\(CD \perp AB\)。
(2) 求解
步骤1：建立空间直角坐标系
由(1)知\(AE \perp\)平面\(BCD\)，以\(E\)为原点，
\(EB\)为\(x\)轴，过\(E\)作平行于\(CD\)的直线为\(y\)轴，\(EA\)为\(z\)轴，建立空间直角坐标系。
已知：\(BE=1，DE=2，AE=\sqrt{2}，CD=2\sqrt{3}\)
各点坐标：\(E(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(-2,0,0)\)，\(A(0,0,\sqrt{2})\)。
由\(CD \perp\)平面\(ABD\)，\(CD \parallel y\)轴，\(CD=2\sqrt{3}\)，得\(C(-2,2\sqrt{3},0)\)。
步骤2：写出相关向量
\(\overrightarrow{AD}=(-2,0,-\sqrt{2})\)，\(\overrightarrow{AB}=(1,0,-\sqrt{2})\)，\(\overrightarrow{AC}=(-2,2\sqrt{3},-\sqrt{2})\)。
步骤3：求平面\(ABC\)的法向量\(\boldsymbol{n}=(x,y,z)\)
\(\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0 \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0 \end{cases}\)
代入得方程组：\(x - \sqrt{2}z = 0\)
\(-2x + 2\sqrt{3}y - \sqrt{2}z = 0\)
令\(z=\sqrt{2}\)，则\(x=\sqrt{2}z = 2\)，
代入第二个式子：\(-4 + 2\sqrt{3}y - 2 = 0\)，解得\(y=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)。
平面\(ABC\)一个法向量\(\boldsymbol{n}=(2,\sqrt{3},\sqrt{2})\)。
步骤4：线面角公式
设直线\(AD\)与平面\(ABC\)所成角为\(\theta\)，则
\(\sin\theta = |\cos\langle \overrightarrow{AD},\boldsymbol{n} \rangle| = \dfrac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\boldsymbol{n}|}\)
计算点积：
\(\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n} = -2 \times 2 + 0 \times \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = -4 - 2 = -6\)，绝对值\(|-6|=6\)。
\(|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4+2} = \sqrt{6}\)。
\(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4+3+2} = \sqrt{9} = 3\)。
代入： \(\sin\theta = \dfrac{6}{\sqrt{6} \times 3} = \dfrac{6}{3\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
答案 直线\(AD\)与平面\(ABC\)所成角的正弦值为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
【2026年高考全国2卷数学真题第17题】【本小题满分15分】在\(\triangle ABC\)中，已知\(\cos B = \dfrac{3}{4}\)，\(\cos^2(A+C) + \sin A \sin C = 1\)。
(1) 证明：\(\triangle ABC\)为钝角三角形；
(2) 若\(\triangle ABC\)的面积为\(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，求\(\triangle ABC\)的周长。
(1) 证明：在\(\triangle ABC\)中，\(A+C = \pi - B\)，故\(\cos(A+C) = -\cos B\)。
原式\(\cos^2(A+C) + \sin A \sin C = 1\)替换得：
\((-\cos B)^2 + \sin A \sin C = 1\)，
\(\cos^2 B + \sin A \sin C = 1\)。
由三角恒等式\(1 - \cos^2 B = \sin^2 B\)，得：
\(\sin A \sin C = \sin^2 B\)。
由正弦定理\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)，即\(\sin A=\dfrac{a}{2R},\sin B=\dfrac{b}{2R},\sin C=\dfrac{c}{2R}\)，
代入化简得：\(ac = b^2\)。
已知\(\cos B = \dfrac{3}{4} > 0\)，故\(B\)为锐角。
由余弦定理：
\(\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{3}{4}\)，
又\(b^2=ac\)，代入：
\(\dfrac{a^2 + c^2 - ac}{2ac} = \dfrac{3}{4}\)，
两边同乘\(4ac\)：
\(2(a^2 + c^2 - ac) = 3ac\)，
\(2a^2 + 2c^2 - 2ac - 3ac = 0\)，
\(2a^2 -5ac + 2c^2 = 0\)。
因式分解：\((2a - c)(a - 2c)=0\)，
得\(c=2a\) 或 \(a=2c\)。
情况1：\(c=2a\)，\(b^2=ac=2a^2\)，\(b=\sqrt{2}a\)，
三边：\(a,\sqrt{2}a,2a\)，最大边\(c=2a\)，
计算最大角\(C\)的余弦：
\(\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{a^2 + 2a^2 - 4a^2}{2 \cdot a \cdot \sqrt{2}a} = \dfrac{-a^2}{2\sqrt{2}a^2} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} < 0\)，\(C\)为钝角。
情况2：\(a=2c\)，同理最大边\(a\)，\(\cos A < 0\)，\(A\)为钝角。
因此\(\triangle ABC\)存在钝角，是钝角三角形，得证。
(2) 求解
步骤1：求\(\sin B\)
\(\cos B=\dfrac{3}{4}\)，\(B \in (0,\pi)\)，
\(\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)。
步骤2：面积公式求\(ac\)
\(S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}ac \sin B = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，
代入\(\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)：
\(\dfrac{1}{2} \cdot ac \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，
约去\(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，得\(\dfrac{1}{2}ac = 1\)，\(ac=2\)。
由(1)知\(b^2=ac\)，故\(b^2=2\)，\(b=\sqrt{2}\)。
又\((2a-c)(a-2c)=0\)，分两种对称情况，取\(c=2a\)：
\(ac = a \cdot 2a = 2a^2 = 2\)，得\(a^2=1\)，\(a=1\)，则\(c=2\)。
三边：\(a=1，b=\sqrt{2}，c=2\)。
步骤3：计算周长
周长\(L = a + b + c = 1 + \sqrt{2} + 2 = 3 + \sqrt{2}\)。
若取\(a=2，c=1\)，三边不变，周长相同。
答案 三角形周长为\(3+\sqrt{2}\)。
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