📐 典型例题

题：解不等式 $|x-1| + |x+2| \geqslant 5$。

思路：以绝对值的零点 $x=-2$ 和 $x=1$ 为界，将数轴分为三段：① $x<-2$；② $-2\leqslant x\leqslant 1$；③ $x>1$。在每一段内确定绝对值符号的展开方式，转化为普通一次不等式求解，最后取并集。此过程体现分类讨论的「找界→分区→求解→合并」四步基本流程。

📐 典型例题

题：求 $f(x)=x^2-2ax+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 上的最小值 $g(a)$ 的表达式。

思路：对称轴 $x=a$，按轴与区间 $[-1,2]$ 的位置分三类：① 当 $a<-1$ 时，函数在区间上递增，$g(a)=f(-1)=2a+4$；② 当 $-1\leqslant a\leqslant 2$ 时，最小值在顶点处，$g(a)=f(a)=3-a^2$；③ 当 $a>2$ 时，函数递减，$g(a)=f(2)=7-4a$。
⚠️ 关键警示：边界 $a=-1$ 和 $a=2$ 归入第二类或单独一类均可，但绝不能重复归属，否则会导致逻辑矛盾。

📐 典型例题

题：设 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 - ax + (a-1)\ln x$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

思路：$f'(x)=x-a+\dfrac{a-1}{x}=\dfrac{(x-1)(x-(a-1))}{x}$（$x>0$）。导函数零点为 $x_1=1$ 和 $x_2=a-1$。分类讨论的核心是比较 $x_2$ 与 $x_1$ 及定义域边界 $0$ 的大小：① 当 $a-1\leqslant 0$ 即 $a\leqslant 1$ 时，仅 $x=1$ 为正零点；② 当 $0$$<$$a-1$$<$$1$ 即 $1$$<$$a$$<$$2$ 时，两正零点 $a-1$$<$$1$；③ 当 $a-1=1$ 即 $a=2$ 时，两零点重合；④ 当 $a-1$$>$$1$ 即 $a$$>$$2$ 时，两正零点 $1$$<$$a-1$。每种情况对应不同的单调区间划分。

📐 典型例题

题：过点 $P(2,1)$ 作直线与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，若 $P$ 为 $AB$ 中点，求直线方程。

思路：常规解法设直线 $y-1=k(x-2)$，联立后用韦达定理和中点条件求 $k$。但必须先讨论斜率不存在的情况：若直线为 $x=2$，代入椭圆得 $y=\pm\sqrt{3}$，中点为 $(2,0)\neq(2,1)$，故不成立。若忽略此讨论，设点斜式时默认了斜率存在，会丢失一种可能性，导致逻辑不严谨。虽然此题斜率不存在不成立，但讨论过程不可省略。

📐 典型例题

题：设 $f(x)=ax^2-x+a$，若 $f(x)>0$ 对 $\forall x\in(0,2)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

策略一（直接分类）：对 $a=0$、$a>0$、$a<0$ 分别讨论，结合对称轴与区间位置，子情况多达 5-6 种，计算量大。
策略二（分离参数优化）：$a>\dfrac{x}{x^2+1}$，只需研究右侧函数最值，完全避开分类讨论。此例说明：分类讨论不是目的，而是无法避免时的手段。高手会先尝试转化、分离、换元等策略，将「必须讨论」的情形压缩到最小。