前情概要

通过整理知乎回答里的典型例题，梳理这类问题的常用解法，发散我们的数学思维。 涉及到分式函数的常用变形有 配凑法，换元法；相关延申请参阅分式型函数 .

典例剖析

求 \(\cfrac{x^2-x+1}{x^2-2x+4}\) \((x>0)\) 的最小值 .

解法❶：判别式法[最通用]，此法可以延申到一次式与二次式的比值形式，如 \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3x+3}\)；以及延申到二次式与一次式的比值形式，如 \(f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+1}\)；

令 \(y=\cfrac{x^2-x+1}{x^2-2x+4}\)，交叉相乘：\(y(x^2-2x+4)=x^2-x+1\)

整理成关于 \(x\) 的一元二次方程：\((y-1)x^2 + (-2y+1)x + (4y-1)=0\)

因为 \(x>0\) 有实数解，所以有：

1.若 \(y=1\)：方程变为 \(-x+3=0 \Rightarrow x=3\)，有效。

2.若 \(y\neq1\)：则判别式必然满足 \(\Delta\ge0\)

由 \(\Delta = (-2y+1)^2 - 4(y-1)(4y-1) \ge 0\)，变形整理为 \(12y^2-16y+3 \le 0\)

解得 \(\cfrac{4-\sqrt{7}}{6}\le y\le\cfrac{4+\sqrt{7}}{6}\)，即 \(y\) 的范围为 \(\cfrac{4-\sqrt{7}}{6}\le y\le\cfrac{4+\sqrt{7}}{6}\) 且 \(y\neq 1\)

综合以上可知， \(y\) 的取值范围为 \(\cfrac{4-\sqrt{7}}{6}\le y\le\cfrac{4+\sqrt{7}}{6}\)；

验证对应 \(x>0\) 成立，故 \(y_{\min}=\cfrac{4-\sqrt{7}}{6}\)

解法❷：分离常数 + 均值换元法 + 配凑法或换元法；

\(y=\cfrac{x^2-x+1}{x^2-2x+4}\)\(=\)\(1+\cfrac{x-3}{x^2-2x+4}\)

令 \(t=x-3\)，则 \(x=t+3\)，\(t>-3\)

\(y=1+\cfrac{t}{(t+3)^2-2(t+3)+4}\)\(=\)\(1+\cfrac{t}{t^2+4t+7}\)

当 \(t=0\) 时 \(y=1\)。

当 \(t\neq0\)，\(y=1+\cfrac{1}{t+\cfrac{7}{t}+4}\)

要使 \(y\) 最小，需 \(t+\cfrac7t+4\) 尽可能大（负方向）。

由均值不等式：\(t<0 \Rightarrow -t+\cfrac{7}{-t}\ge2\sqrt7 \Rightarrow t+\cfrac7t\le-2\sqrt7\)

\(t+\cfrac7t+4\le4-2\sqrt7\)

\(\cfrac{1}{t+\cfrac7t+4}\ge\cfrac{1}{4-2\sqrt7}=\cfrac{4+2\sqrt7}{16-28}=-\cfrac{4+2\sqrt7}{12}=-\cfrac{2+\sqrt7}{6}\)

\(y\ge1-\cfrac{2+\sqrt7}{6}=\cfrac{6-2-\sqrt7}{6}=\cfrac{4-\sqrt7}{6}\)

等号成立条件：\(-t=\cfrac7{-t}\Rightarrow t^2=7 \Rightarrow t=-\sqrt7\)

\(x=3-\sqrt7>0\) 成立。

故 \(y_{\min}=\cfrac{4-\sqrt7}{6}\)

还可以延申到二次式与一次式比值的最值问题，考虑在分子位置使用均值不等式，如 [配凑法] \(h(x)\)\(=\)\(\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)\(=\)\(\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}\)\(=\)\((x-2)\)\(+\)\(\cfrac{1}{x-2}\)；也可以延申到一次式与二次式比值的最值问题，考虑在分母位置使用均值不等式，如 \(n(x)\)\(=\)\(\cfrac{x+1}{x^2+3x+3}\)；则 \(n(x)\)\(=\)\(\cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}\)\(=\)\(\cfrac{1}{(x+1)+\cfrac{1}{x+1}+1}\)；

解法❸：导数法，通用方法，

由 \(y=\cfrac{x^2-x+1}{x^2-2x+4}\)，求导可得到，

\(y'=\cfrac{(2x-1)(x^2-2x+4)-(x^2-x+1)(2x-2)}{(x^2-2x+4)^2}=\dfrac{-x^2+6x-2}{(x^2-2x+4)^2}\)

令 \(y'=0\)，\(-x^2+6x-2=0 \Rightarrow x^2-6x+2=0\)

\(x=\cfrac{6\pm\sqrt{36-8}}{2}=3\pm\sqrt7\)

\(x>0\)，两个根都有效。判断后可知，最小值点为 \(x=3-\sqrt7\)，代入 \(x=3-\sqrt7\)：

解得，\(y\)\(=\)\(\cfrac{(3-\sqrt7)^2-(3-\sqrt7)+1}{(3-\sqrt7)^2-2(3-\sqrt7)+4}\)\(=\)\(\cfrac{4-\sqrt7}{6}\)

故最小值为 \(y_{\min}\)\(=\)\(\cfrac{4-\sqrt7}{6}\)

解法❹：配方法 + 三角换元

由于分母为 \(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\)，注意到其结构，

令 \(x-1=\sqrt3\tan\theta\)， \(\theta\in\left(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right)\)，

则 \(x=1+\sqrt3\tan\theta\)，\((x-1)^2+3=3\sec^2\theta\)

即 \(y=\cfrac{(1+\sqrt3\tan\theta)^2-(1+\sqrt3\tan\theta)+1}{3\sec^2\theta}\)

将展开分子为，\(1+2\sqrt3\tan\theta+3\tan^2\theta-1-\sqrt3\tan\theta+1\)\(=\)\(1+\sqrt3\tan\theta+3\tan^2\theta\)

故 \(y=\cfrac{3\tan^2\theta+\sqrt3\tan\theta+1}{3\sec^2\theta}\)，给分子分母同乘以 \(\cos^2\theta\)：

得到， \(y=\cfrac{3\sin^2\theta+\sqrt3\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta}{3}\)

\(=\cfrac{(3\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\sqrt3\sin\theta\cos\theta}{3}\)

\(=\cfrac{2\sin^2\theta+1+\cfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta}{3}\)

\(=\cfrac{1-\cos2\theta+1+\cfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta}{3}\)

\(=\cfrac{2-\cos2\theta+\cfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta}{3}\)

\(=\cfrac23+\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta-\cos2\theta\right)\)

\(y=\cfrac23+\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{\sqrt7}{2}\sin(2\theta-\varphi)\)

\(=\cfrac23+\cfrac{\sqrt7}{6}\sin(2\theta-\varphi)\)

由于 \(\sin(2\theta-\varphi)\in[-1,1]\)，所以 \(y_{\min}=\cfrac23-\cfrac{\sqrt7}{6}=\cfrac{4-\sqrt7}{6}\)

解后反思

分式函数的值域问题，我们往往感觉比较难，所以其相关的变形方法，比如换元法，配凑法等需要掌握的非常熟练，可以将复杂的问题转换为简单问题便于处理。其中判别式法，导数法是通用方法；均值不等式法和三角换元法也可以参考使用。