Вступление
Однажды я наткнулся на одну замечательную презентацию о разработке облучателя для спутниковой параболической антенны. Одним из важнейших узлов этого облучателя был волноводный поляризатор. Предлагаемую замысловатую конструкцию сравнивали с двумя классическими вариантами и одним из них был поляризатор на решетке диафрагм (апертур). Я решил что расчет такого устройства был бы полезной дипломной работой в которой можно связать материал различных курсов. Однако оказалось, что теория расчета подобных устройств вызывает трудности у студентов. Поэтому была написана записка, которая затем легла в основу этой статьи.
Предмет исследования
Пусть у нас есть антенна с волноводным фидером. Иногда, например в спутниковых системах связи, необходимо принимать или излучать электромагнитные волны с круговой поляризацией. Что бы ее создать необходимо использовать волноводы с соответствующей симметрией, например квадратные или круглые. Для возбуждения в таком волноводе поля с круговой поляризацией используются специальные устройства - поляризаторы. Различные типы поляризаторов рассмотрены, например, в этой статье (ее копия). Мы будем рассчитывать волноводный поляризатор на решетке диафрагм (сorrugated / iris polarizer) в его самом простейшем виде.
Рассмотрим квадратный волновод сечением а×a. Пусть в нем синфазно возбуждённы две ортогональные моды (TE01, TE10). Можно с добиться на его выходе разности фаз между ними Δφ0 около 90° в широкой полосе частот используя периодические вставки в виде диафрагм. Для моды TE01 это будет емкостная диафрагма, а для моды TE10 – индуктивная. Это замечательное свойство диафрагмы позволяет добиться достаточно широкой полосы рабочих частот поляризатора.
Расчет периодически нагруженной линии передачи
Волновод с двумя модами можно рассматривать как две независимые линии передачи с периодическими нагрузками разного типа (емкостными и индуктивными). Эквивалентные схемы элементарных ячеек этих линий показаны на рисунке ниже. Постоянная распространения (
) и импеданс (
) обеих линий идентичны, т.к. в квадратном волноводе моды TE01 и TE10 имеют одинаковые параметры (вырождены). Таким образом, пренебрегая потерями в стенках волновода, можно записать:
где 
, 
, f - частота, с - скорость света. Знак выбирается таким образом что бы 
где 
Ом - импеданс свободного пространства
Длина волны в линии передачи 
Проводимость емкостной и индуктивной бесконечно тонкой диафрагмы может быть найдена по следующим приближенным формулам [1, с.65]:
Примечание о формулах для проводимостей B
В формуле для BC традиционное выражение 
заменено на 
.
Использованные формулы для BC и BL являются главными членами выражений для бесконечно тонких емкостных и индуктивных диафрагм [2]. Более точные выражение для проводимостей BC и BL, в том числе для диафрагм с конечной толщиной, можно так же найти в [2], но эти выражения очень громоздки.
Рассчитаем характеристики волн в такой периодической структуре. Для этого используем процедуру, описанную в [3, c. 381]. Рассмотрим элементарную ячейку длиной d состоящую из двух одинаковых отрезков линии передачи и шунтирующую проводимость между ними (см. рисунок 3).
Матрица передачи (ABCD матрица) для отрезка линии передачи:
Матрица передачи для шунтирующей проводимости (
):
Матрица передачи ячейки находиться путем перемножения матриц ее составных частей:
Вычисления для емкостной и индуктивной диафрагмы отличаются только подстановкой соответствующих выражений для 
в матрицу 
. В дальнейшем будем обозначать параметры линии передачи с емкостной нагрузкой индексом 1, а с индуктивной нагрузкой индексом 2
В периодической структуре, состоящей из бесконечного числа ячеек, распространяются волны (волны Блоха), для которых можно найти постоянную распространения 
и импеданс 
. Обозначим элементы матрицы 
следующим образом с учетом ее симметрии (т.к. ячейка симметрична):
Тогда запишем следующие выражения для постоянной распространения и импеданса для симметричной ячейки:
Знак у выбирается так что бы 
.
В дальнейших расчетах можно учитывать периодическую структуру как некую однородную линию передачи с параметрами и .
Рассчитаем зависимость от частоты реальных частей постоянных распространения и импеданса для волновода и линий передачи типа 1 и 2 для периодической структуры с параметрами: а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 5 мм (мы пока оставляем за скобками откуда появились эти значения).
На рисунке 4 приведена дисперсионная характеристика линий передачи 1 и 2. Наблюдается первая и вторая полоса пропускания с узкой запрещенной зоной между ними. Расстояние между графиками в первой зоне пропускания почти постоянно в широкой полосе частот, что дает возможность сделать широкополосный поляризатор.
Рассмотрим стык волновода и полубесконечной периодической структуры. Для него можно записать коэффициент отражения:
Для тех же параметров (а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 5 мм) был рассчитан коэффициент отражения Г. Его частотная зависимость показана на рисунке 5. Т.к. полосы пропускания у линий передачи сдвинуты относительно друг друга по частоте, то общая полоса пропускания для двух линий заметно меньше.
Используя разность фазовых задержек в одной ячейке, можно определить число ячеек необходимых для создания разности фаз Δφ0 = 90°:
На рисунке 7 показано зависимость числа ячеек от частоты для Δφ0 = 90° и зависимость разности фаз Δφ от частоты для N = 7:
Расчет коэффициента эллиптичности
Для антенн с круговой поляризацией важными параметрами являются две взаимосвязанных величины – коэффициент эллиптичности (AR) и коэффициент кроссполяризационной развязки (XPD). Аналогичные параметры можно использовать для элементов фидерного тракта, в частности поляризаторов. Они связаны между собой следующим выражением:
Следует отметить, что обе величины являются отношением амплитуд и в логарифмическом виде они вычисляются как adB = 20log(a).
Определим AR как отношение большой полуоси эллипса поляризации к малой полуоси.
Примечание
Определение AR как отношение большой оси к малой традиционно в англоязычной литературе и используется в в зарубежных САПР СВЧ. Так же эта величина определена в ГОСТ Р 55787-2013. При использовании параметров круговой поляризации всегда сперва надо разобраться как они были вычислены.
Можно рассчитать AR через коэффициенты передачи устройства S21 с помощью формулы, приведенной в [4], и с уточнением что там используется обратное определение AR (индексы 1 и 2 так же указывают на 1 и 2 линию передачи):
Считаем, что внешнее устройство обеспечивает возбуждение обеих мод с равными амплитудами и поляризатор достаточно хорошо согласован. Тогда AR зависит только от разности фаз между каналами, которую можно записать как отклонение от Δφ0 на ошибку δφ, т.е.
Синтез геометрии поляризатора (кратко)
Для примера сформулируем тестовое задание:
диапазон частот: 19 - 24 ГГц (f0 = 21,5 ГГц);
коэффициент отражения в рабочей полосе не более минус 20 дБ;
уровень кроссполяризационной развязки XPDdB = -25 дБ;
Вычислим 
. Тогда требуемый AR = 1,12 или ARdB = 0,98 дБ и можно найти допустимую максимальную фазовую ошибку:
Сечение волновода поляризатора определяется конструкцией волноводного перехода с прямоугольного на квадратный и считаем заданным а = 12 мм. Остальные параметры (период решетки d и зазор w ) проще всего найти методом подбора или оптимизацией исходя из следующих условий:
работаем в первой зоне пропускания периодической структуры;
общий минимум Г1 и Г2 должен быть был близко к центральной частоте (см. рисунок 6);
в рабочей полосе частот обеспечивается условие ГdB ≤ –20 дБ;
максимум функции Nf должен быть как можно меньше, лежать в полосе частот и быть близко к целому числу ячеек N;
ошибка по фазе для выбранного числа N не должна превосходить
в рабочей полосе частот.
Иными словами:
изменяя период решетки d выставляем центральную частоту;
уменьшая w увеличиваем рассогласование линий до допустимого предела и при этом добиваемся максимальной разности фаз на одну ячейку;
находим требуемое число секций N;
корректируем размеры до достижения нужного результата.
Итоговые параметры поляризатора: а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 7.5 мм, N = 7.
Расчет матрицы рассеяния поляризатора
Найдем матрицу передачи для линии, состоящей из каскадного соединения N ячеек как AP = ACN. Тогда элементы матрицы S (коэффициент передачи S21 и коэффициент отражения S11) для 1 и 2 линии передачи можно найти, используя элементы матрицы AP:
Результаты вычислений по приведённым выше формулам показаны на рисунках 7 и 8. На графике модулей коэффициентов передачи и отражения видны полосы частот, которые можно отождествить с полосами пропускания и не пропускания на дисперсионной диаграмме (см. рис. 4). В заданной полосе частот обеспечивается коэффициент отражения около минус 17 дБ. Фазовая ошибка в то же полосе частот не превышает 4°. Для сравнения на графике 7б показана зависимость разности фаз для постоянных распространения. Видно что эти зависимости почти идентичны.
На рисунке 8 показана зависимость от частоты коэффициента эллиптичности AR. В требуемой полосе частот AR не превосходит требуемого значения 0,98 дБ.
Что бы улучшить согласование надо или произвести настройку фазовращателя или использовать дополнительные согласующие ячейки с корректировкой зазора w.
Заключение
Данный расчет хоть и был произведен по приближенным формулам дает близкие результаты к расчету в Ansys HFSS. Для наглядности ниже показано анимированные распределение амплитуды электрического поля при синфазном возбуждении обеих мод. Расчет проводился для тех же геометрических размеров и на центральной частоте. Видно, что амплитуды мод сдвинуты на выходе поляризатора на половину пучности, что соответствует сдвигу на 
(90o).
Подобные модели могут быть использованы для качественной оценки основных параметров устройства, в первую очередь габаритов и достижимого диапазона частот.
Волны в подобных периодических структурах до сих пор являются предметом научных изысканий. В частности можно ознакомиться с занимательной статьей.
Литература
Сазонов Д.М., Антенны и устройства СВЧ: Учеб. Для радиотехнич. спец. вузов.– М.: Высш. Шк., 1988 [pdf]
N. Marcuvitz, Waveguide Handbook, McGraw-Hill, 1951
D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4 ed, Wiley, 2012 [pdf]
Крылов Ю.В. Широкополосные частотно-поляризационные селективные устройства антенн космических аппаратов: дис. … канд. тех. наук. – Красноярск, 2018. [pdf]
P.S. Статья может быть дополнена и исправлена при необходимости.