函数$f(x)$是定义域$\mathbf{R}$上的单调递增函数，图像同时关于两个点$(a,b)$和$(c,d)$对称($a,b,c,d$互不相等)，证明：存在实数$k$和$M$，满足：$|f(x)-kx|\leq{M}$恒成立.

证明：由$f(x)$关于$(a,b)$对称：$f(x)+f(2a-x)=2b$，同理$f(x)+f(2c-x)=2d$，两式相减得

$$f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d$$

$$\Rightarrow{f(2a-2c+x)=f(x)+2b-2d}$$

设$g(x)=f(x)-\dfrac{b-d}{a-c}x-\dfrac{ad-bc}{a-c}$，则可得

$$g(x+2a-2c)=g(x)$$

不妨设$a>c$，则$[2c-a,a]$是$g(x)$的一个周期.

在$[c,a]$上，$f(x)\in[d,b]$且$\dfrac{b-d}{a-c}x+\dfrac{ad-bc}{a-c}\in[d,b]$，故$g(x)\in[d-b,b-d]$.

由对称性，在$[2c-a,c]$上，$g(x)\in[d-b,b-d]$，故取$k=\dfrac{b-d}{a-c},M=b-d+\left|\dfrac{ad-bc}{a-c}\right|$即满足$|f(x)-kx|\leq{M}$恒成立.

注：题目中给出的条件“$f(x)$在$\mathbf{R}$上递增”是为了排除$f(x)=\tan{x}+x$等在一段“周期”内都无界的函数。所以，把单调增的条件改为“$f(x)$在$\mathbf{R}$上连续”也使得命题成立，但证明需要用到数学分析中“连续函数在闭区间上有界”的结论.