如下题目是某年丘赛的几何与拓扑赛道的一题：
Let $S^n$ be the unit sphere in $\mathbb{R}^{n+1}$ and $f:S^n\rightarrow S^n$ a continuous map. Assume that the degree of $f$ is an odd integer. Show that there exists $x_0$ such that $f(-x_0)=-f(x_0)$.
网上某解答如下：
Otherwise $F(t,x)=\frac{f(x)+tf(-x)}{|f(x)+tf(-x)|}$ gives the homotopy between $f(x)$ and $g=\frac{f(x)+f(-x)}{|f(x)+f(-x)|}$, where $g$ is an even map. So $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)\in 2\mathbb{Z}$, a contradiction.
但是没有详细解释映射度是偶数这一步。以下先记录一下deepseek的解释，以后再来整理：
这个证明使用了反证法来证明命题：如果连续映射 $f : S^n \to S^n$ 的度是奇数，则存在点 $x_0$ 使得 $f(-x_0) = -f(x_0)$。
证明步骤详解：
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假设相反：假设对于所有 $x \in S^n$，都有 $f(-x) \neq -f(x)$。这意味着对于所有 $x$，向量 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 不互为反方向。
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构造同伦：定义函数 $F(t, x)$ 如下：
$$ F(t, x) = \frac{f(x) + t f(-x)}{|f(x) + t f(-x)|}$$
其中 $t \in [0, 1]$。需要验证 $F$ 是定义良好的，即分母不为零。
- 如果对于某些 $t$ 和 $x$，有 $f(x) + t f(-x) = 0$，则 $f(x) = -t f(-x)$。由于 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 是单位向量，如果 $t = 0$，则 $f(x) = 0$，矛盾；如果 $t > 0$，则取模得 $1 = t$，所以 $t = 1$，此时 $f(x) = -f(-x)$，与假设矛盾。因此，对于所有 $t \in [0, 1]$ 和所有 $x$，分母不为零，$F$ 是定义良好的连续函数。
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同伦的性质：
- 当 $t = 0$ 时，$F(0, x) = \frac{f(x)}{|f(x)|} = f(x)$。
- 当 $t = 1$ 时，$F(1, x) = \frac{f(x) + f(-x)}{|f(x) + f(-x)|} = g(x)$。
- 因此，$F$ 是 $f$ 到 $g$ 的同伦，故 $f$ 和 $g$ 同伦，从而有相同的度： $\deg(f) = \deg(g)$.
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分析 $g$ 的性质：
- 计算 $g(-x)$:
$$g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{|f(-x) + f(-(-x))|} = \frac{f(-x) + f(x)}{|f(-x) + f(x)|} = g(x)$$
所以 $g$ 是偶函数，即 $g(-x) = g(x)$ 对于所有 $x$.
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偶函数的度：需要证明偶函数 $g : S^n \to S^n$ 的度是偶数。
- 由于 $g$ 是偶函数，它可以通过覆盖映射 $p : S^n \to \mathbb{RP}^n$（其中 $p(x)=[x] $）下降为一个映射 $\tilde{g} : \mathbb{RP}^n \to S^n$，使得 $g = \tilde{g} \circ p$。
- 考虑同调群： $H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$ 和 $H_n(\mathbb{RP}^n)$。当 $n$ 为奇数时， $\mathbb{RP}^n$ 可定向， $H_n(\mathbb{RP}^n) \cong \mathbb{Z}$，覆盖映射 $p_* : H_n(S^n) \to H_n(\mathbb{RP}^n)$ 满足 $p_*([S^n] )=2[\mathbb{RP}^n] $，即 $p_*$ 是乘以 2。当 $n$ 为偶数时， $\mathbb{RP}^n$ 不可定向， $H_n(\mathbb{RP}^n) \cong 0$，因此 $\tilde{g}_*$ 是零映射。
- 于是， $g_{*} = \tilde{g}_{*} \circ p_{*} $。无论 $n$ 的奇偶性，都有 $g_*([S^n]) = \tilde{g}_*(p_*([S^n]))$。如果 $n$ 为奇数， $p_*([S^n]) = 2 [\mathbb{RP}^n]$，所以 $g_*([S^n]) = 2 \tilde{g}_*([\mathbb{RP}^n])$，即 $\deg(g) = 2 \deg(\tilde{g})$ 为偶数。如果 $n$ 为偶数， $H_n(\mathbb{RP}^n) = 0$，所以 $g_*([S^n]) = 0$，即 $\deg(g) = 0$ 为偶数。
- 因此，在所有情况下， $\deg(g)$ 是偶数。
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矛盾：由 $\deg(f) = \deg(g)$ 和 $\deg(g)$ 是偶数，得 $\deg(f)$ 是偶数，但与假设 $\deg(f)$ 是奇数矛盾。因此，原假设错误，存在 $x_0$ 使得 $f(-x_0) = -f(x_0)$.
这个证明通过构造同伦和利用偶函数度的性质，简洁地得出了结论。
还有以下网络参考：
https://math.stackexchange.com/questions/3984757/even-maps-of-any-even-degree
https://math.stackexchange.com/questions/1750150/show-that-deg-f-is-even-when-n-is-odd?rq=1
https://zhuanlan.zhihu.com/p/1972454671042975253
