4.27日周日，调休上周一课。晚上高代课主要讲一个关于幂等（投影）变换的结论，在用映射的方法研究后再去看书上用迹的方法解决（丘P263）（挖坑）
设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间，$\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\cdots,\mathcal{A}_s$都是$V$上的幂等变换。
证明：如果 $\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 + \cdots+\mathcal{A}_s$ 也是幂等变换，那么
$$\mathrm{rank}(\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\cdots+\mathcal{A}_s)=\mathrm{rank}(\mathcal{A}_1)+\mathrm{rank}(\mathcal{A}_2)+\cdots+\mathrm{rank}(\mathcal{A}_s).$$
课上从作用的观点，讲“幂等”类比到分析（拓扑）上的Brouwer不动点定理，并对于其最常用的证明方法，进行了代数上的思考.然后接着引出了Lefschetz不动点（挖坑x2）。
课后答疑时又问到昨日中饭时与老师聊的内容，数分课中证明代数基本定理的动机是证明有理函数有初等原函数那部分内容。在不定积分原函数那块内容涉及了一些代数的内容和概念，主要就是两个：代数基本定理、微分域扩张（证明Liouville定理）。
代数基本定理的证明刚讨论过，来自(Harm Derksen, 2003)的一种巧妙且深刻的证法。今天由这个话题又提到代数闭域的存在性和唯一性问题，证明它可能会用到正项/逆向极限，Zorn引理等。知乎上找到的证明：参考 抽象代数(3-2)：分裂域，代数闭域，代数闭包（挖坑x3）
然后就是Liouville定理，表述如下：
(Liouville) 设$f$为初等函数，$K$为一个初等微分扩域使得$f\in{K}$，则$f$有初等原函数当且仅当$\exist M\in\mathbb{N}^*,c_1,\cdots,c_m\in\mathbb{C},\beta_1,\cdots,\beta_m,\gamma\in{K},\beta_j\ne0$，使得$$f=\displaystyle\sum_{j=1}^m c_j\dfrac{\beta_j^{′}}{\beta_j}+\gamma^{′}.$$
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