2000年

12.在等差数列$\{a_n\}$中,若$a_{10}=0$，则有等式$a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{19−n}(n<19, n\in\mathbf{N}^{*})$成立，类比上述性质，相应地：在等此数列${b_n}$中,若$b_9=1$,则有等式_____________成立.

21.在$xOy$平面上有一点列$P_1(a_1,b_1),P_2(a_2,b_2),\cdots,P_n(a_n,b_n),\cdots$，对每个自然数$n$，点$P_n$位于函数$y=2000\cdot\left(\dfrac{a}{10}\right)^2(0<a<10)$的图像上，且点$P_n$，点$(n,0)$与点$(n+1,0)$构成一个以$P_n$为顶点的等腰三角形.
（1）求点$P_n$的纵坐标$b_n$的表达式；
（2）若对每个自然数$n$，以$b_n,b_{n+1},b_{n+2}$为边长能构成一个三角形，求$a$的取值范围；
（3）设$B_n=b_{1}b_{2}\cdots{b_{n}}(n\in{\mathbf{N}})$，若$a$取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列${B_n}$的最大项的项数.

22.已知复数$z_0=1-m\mathrm{i}(m>0),z=x+y\mathrm{i}$和$\omega=x^{′}+y^{′}\mathrm{i}$，其中$x,y,x^{′},y^{′}$均为实数，$\mathrm{i}$为虚数单位，且对于任意复数$z$，有$\omega=\overline{z_0}\cdot\overline{z},|\omega|=2|z|$.
（1）试求$m$的值，并分别写出$x^{′}$和$y^{′}$用$x、y$表示的关系式；
（2）将$(x,y)$作为点$P$的坐标，$(x^{′},y^{′})$作为点$Q$的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点$P$变到这一平面上的点$Q$，当点$P$在直线$y=x+1$上移动时，试求点$P$经该变换后得到的点$Q$的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

2001年

20.对任意一个非零复数$z$，定义集合$M_z=\{\omega|\omega=z^{2n-1},n\in{\mathbf{N}}\}$
（1）设$a$是方程$x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{2}$的一个根,试用列举法表示集合$M_{a}$.若在$M_{a}$中任取两个数,求其和为零的概率$P$；
（2）设复数$\omega\in{M_z}$，求证：$M\subseteq{M_z}$.