背景

众所周知，Haskell语言是一门函数式编程语言。函数式编程语言的一大特点就是数值和对象都是不可变的，而这与经常需要对状态目前的值进行修改的动态规划算法似乎有些“格格不入”，本文对几乎可以说是动态规划的最简单特例：斐波那契数列的求解提出几种算法（不包括矩阵快速幂优化、Monad和通项公式计算），探讨一下函数式编程如何结合动态规划。

自底向上写法

算法1：

f' 1 _ b = b
f' n a b = f' (n - 1) b (a + b)
f n = f' n 0 1

尾递归，所以本质上和其他语言循环递推计算是一样的，但是如果编译器没看出来而真的用递归去算可能会爆栈。

算法2：

f' (a, b) _ = (b, a + b)
f n = snd (foldl f' (0, 1) (take (n - 1) (repeat 0)))

和上面算法一样，但是用fold来写的话可以保证编译器优化掉递归而不会爆栈。同时，在我看来，fold的过程体现了状态的变化，初状态通过一步步的计算得到末状态，正和动态规划的思想相契合，所以我认为这是动态规划的递推形式在函数式编程语言里最好的写法。

算法3：

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)
f n = fibs !! n

摘自https://wiki.haskell.org/The_Fibonacci_sequence，这个应该是最接近斐波那契数列的数学递推式的写法了，构造一个无限序列（fibs），然后描述序列是由0、1、fibs[0:n]和fibs[1:n+1]相加构成，最后当执行函数f n时，才开始对fibs[n]进行计算。这个算法充满了数学的味道，但如果从计算机的角度则非常难分析，当然也有可能是我太弱，至少我是写不出这样的算法。原网页还有很多类似的算法，但是我智商不给用很多看不懂。

自顶向下写法

算法1：

f 0 = 0
f 1 = 1
f x = (f (x - 1)) + (f (x - 2))

秉承了自顶向下写法一贯的好懂，但是作为教科书级的待优化代码，也是最慢的。

算法2：

a = map f [0..]
f 0 = 0
f 1 = 1
f x = a !! (x - 1) + a !! (x - 2)

这个可以说是比较标准的函数式语言里的记忆化搜索了，先声明一个无穷序列a存储的值是对0到无穷施加函数f的结果，但由于惰性求值的机制，一开始a的值是没有经过计算的，只有在递归的过程中遇到了要求a[x-1]和a[x-2]时才会去求，而求a[x-1]和a[x-2]就是求f(x-1)和f(x-2)，实现了搜索，同时当a[x]求出来之后，如果之后还需要a[x]就直接取值就行了，因此也实现了记忆化。美中不足的是，haskell里的list是用链表实现的，因此取索引需要O(n)的复杂度，比较慢。

算法3：

import Data.Sequence
f n = let
        a = fromFunction (n + 1) f'
        f' 0 = 0
        f' 1 = 1
        f' x = a `index` (x - 1) + a `index` (x - 2)
    in f' n

和上面那个算法差不多，但是使用Sequence代替list，Sequence用的是BST，索引复杂度是O(logn)，虽然还是有点浪费，不过也差不多了。haskell里有一个array，虽然支持O(1)索引，但是没有什么map、fromFunction之流可以用。有一个库Vector据说可以符合这样的要求（惰性求值+map或fromFunction+O(1)索引），不过因为不是标准库所以我没尝试。注意Sequence不支持无限长度，同时fromFunction传给f’的是length-1，故传的值是n+1。

总结

目前看来，haskell计算斐波那契数列的方法中，自底向上法效率最高且容易懂的应该是使用fold的方法，自顶向下法效率最高的应该是利用一个O(1)索引且支持惰性求值的数据结构作为记忆表进行记忆化搜索的方法。显然，使用自底向上更优一些，这在其他范式的语言也是一样，没有递归负担，容易优化（滚动数组省空间、特定问题使用单调队列、斜率优化等），而且部分函数式编程语言不支持惰性求值，则直接关上了记忆化搜索的大门。总的说来，斐波那契数列还是一个极为简单的例子，函数式语言实现动态规划，仍然是值得深入研究的一个问题。