2023 年 CCF 非专业级软件能力认证（CSP-J/S 2023）第一轮认证于 2023 年 9 月 16 日举行。继上一篇单项选择题解析后，本文为您带来 第二部分：阅读程序题（共 3 大题，计 40 分） 的逐题源码分析、算法推演与深度全解析。

阅读程序题主要考查对 C++ 格式化输出、海伦公式、动态规划最长公共子序列（LCS）、字符串匹配与移位、试除法分解约数及数论性质 等知识点的掌握。

📌 二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

📍 第一题：海伦公式计算三角形面积与格式化输出

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#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

double f(double a,double b,double c){
    double s=(a+b+c)/2;
    return sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
}
int main(){
    cout.flags(ios::fixed);
    cout.precision(4);

    int a,b,c;
    cin>>a>>b>>c;
    cout<<f(a,b,c)<<endl;
    return 0;
}

假设输入的所有数都是不超过 1000 的正整数，完成下面的判断题和单选题：

💡 程序主旨

本程序核心在于通过 海伦公式（Heron’s Formula） 计算边长分别为 $a, b, c$ 的三角形面积：

1. f(a, b, c) 函数：先计算半周长 $s = \frac{a+b+c}{2}$，随后使用公式 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 计算并返回三角形面积。
2. main 函数：
   • cout.flags(ios::fixed) 与 cout.precision(4) 组合使用，控制标准输出流以 定点小数格式（fixed-point） 精确保留 4 位小数。
   • 读取三个正整数 $a, b, c$，调用 f(a,b,c) 并输出计算结果。

❓ 判断题

1. （2分）当输入为 2 2 2 时，输出为 1.7321 （ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
当 $a = 2, b = 2, c = 2$ 时，该三角形为边长为 2 的等边三角形。

• 半周长 $s = \frac{2 + 2 + 2}{2} = 3$。
• 面积 $S = \sqrt{3 \times (3-2) \times (3-2) \times (3-2)} = \sqrt{3} \approx 1.7320508…$
• 由于程序指定保留 4 位小数，对 $1.73205…$ 进行四舍五入后结果为 1.7321。 因此本题说法正确。

2. （2分）将第 7 行中的 (s-b)*(s-c) 改为 (s-c)*(s-b) 不会影响程序运行的结果 （ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
在实数乘法运算中，乘法满足 交换律，即对任意实数 $x, y$，均有 $x \times y = y \times x$。 因此，将 (s-b)*(s-c) 改写为 (s-c)*(s-b) 表达式的代数含义和数值计算结果完全一致，不会对程序运行结果产生任何影响。故本题说法正确。

3. （2分）程序总是输出四位小数 （ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
在 C++ iostream 中：

• cout.flags(ios::fixed) 强制浮点数采用定点小数表示法输出；
• cout.precision(4) 设置浮点数的显示精度为 4 位。 两者结合后，即使计算结果为整数（如 6 或 30），cout 也会在末尾自动补零输出 6.0000 或 30.0000。由于题目假设输入的数均为不超过 1000 的正整数，输出始终为浮点数且固定展示 4 位小数。因此本题说法正确。

❓ 单选题

4. 当输入为 3 4 5 时，输出为 （ ）

A. 6.0000
B. 12.0000
C. 24.0000
D. 30.0000
正确答案： A

深度解析：
$3, 4, 5$ 是一组经典的勾股数，构成的三角形为直角三角形（直角边长为 3 和 4）。

• 面积计算：$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。
• 海伦公式校验：$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$，$S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$。 配合 4 位小数的格式化输出，最终输出结果为 6.0000。

5. 当输入为 5 12 13 时，输出为 （ ）

A. 24.0000
B. 30.0000
C. 60.0000
D. 120.0000
正确答案： B

深度解析：
$5, 12, 13$ 同样是一组标准的勾股数（$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$），构成的三角形为直角三角形（直角边长为 5 和 12）。

• 面积计算：$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$。
• 海伦公式校验：$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$，$S = \sqrt{15 \times (15-5) \times (15-12) \times (15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$。 配合 4 位小数格式化输出，结果为 30.0000，对应 B 选项。

📍 第二题：最长公共子序列（LCS）与字符串循环匹配

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

int f(string x,string y){
    int m=x.size();
    int n=y.size();
    vector<vector<int>>v(m+1,vector<int>(n+1,0));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(x[i-1]==y[j-1]){
                v[i][j]=v[i-1][j-1]+1;
            }else{
                v[i][j]=max(v[i-1][j],v[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return v[m][n];
}
bool g(string x,string y){
    if(x.size() != y.size()){
        return false;
    }
    return f(x+x,y)==y.size();
}
int main(){
    string x,y;
    cin>>x>>y;
    cout<<g(x,y)<<endl;
    return 0;
}

💡 程序主旨

1. f(x, y) 函数：这是求解 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS） 的经典动态规划算法。
   • m 和 n 分别为字符串 x 和 y 的长度。
   • 二维数组 v[i][j] 表示 x[0...i-1] 与 y[0...j-1] 的最长公共子序列长度。
   • 若 x[i-1] == y[j-1]，则 v[i][j] = v[i-1][j-1] + 1；否则 v[i][j] = max(v[i-1][j], v[i][j-1])。
   • 函数最终返回 v[m][n]，即 x 和 y 的 LCS 长度。
2. g(x, y) 函数：
   • 首先校验 x 与 y 长度是否相等，若不等直接返回 false。
   • 若长度相等，则计算 f(x+x, y)。将 x 拼接自身得到 x+x（长度为 $2m$），若 y 是 x+x 的一个子序列且长度等于 y.size()，则返回 true。

❓ 判断题

1. f 函数的返回值小于等于 $\min{n, m}$。（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
f(x, y) 计算的是字符串 x（长度 $m$）和 y（长度 $n$）的 最长公共子序列长度。 公共子序列中的字符必定来自原字符串，其长度不可能超过参与比较的任何一个字符串的长度。因此 LCS 长度的上界为 $\min{m, n}$，本题说法正确。

2. f 函数的返回值等于两个输入字符串的最长公共子串的长度。（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： B

深度解析：
在数据结构与算法中：

• 最长公共子串（Longest Common Substring） 要求字符在原字符串中必须 连续；
• 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS） 只要求字符保持 相对顺序，不要求连续。 代码中当 x[i-1] != y[j-1] 时，使用了 v[i][j] = max(v[i-1][j], v[i][j-1]) 继承前面的历史匹配状态，这正是 最长公共子序列 的状态转移方程。因此说法错误。

3. 当输入两个完全相同的字符串时，g 函数的返回值总是 true。（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
当输入 $x$ 与 $y$ 完全相同（即 $x = y$ 且 $m = n$）时：

• $x.size() == y.size()$ 满足，不会提前返回 false。
• $x+x$ 包含了完整的原字符串 $x$ 作为其前半部分前缀。
• 因为 $y = x$，所以 $y$ 显然是 $x+x$ 的一个子序列，因此 $f(x+x, y) = y.size()$。
• f(x+x, y) == y.size() 恒成立，g 函数必然返回 true。故本题说法正确。

❓ 单选题

4. 将第 19 行中的 v[m][n] 替换为 v[n][m]，那么该程序（ ）。

A. 行为不变
B. 只会改变输出
C. 一定异常退出
D. 可能异常退出
正确答案： D

深度解析：
在 f(x, y) 函数内部，二维动态数组 v 声明大小为 v(m+1, vector<int>(n+1, 0))，即共有 $m+1$ 行、$n+1$ 列：

• 第一维（行）合法下标范围为 $0 \dots m$；
• 第二维（列）合法下标范围为 $0 \dots n$。

当我们将返回值改为 v[n][m] 时：

• 情况一（$n > m$）：第一维下标 $n$ 超过了数组行数上界 $m$，发生 越界访问（Out of Bounds），极易触发 Segmentation Fault / 内存非法访问，导致程序 异常退出。
• 情况二（$n \le m$）：第一维下标未越界，程序不会崩溃，但访问了错误的位置（v[n][m] 而非答案所在的 v[m][n]），导致输出错误答案。

综合以上两种情况，该程序表现为 “可能异常退出”，故选 D。

5. 当输入为 csp-j p-jcs 时，输出为（ ）。

A. 0
B. 1
C. T
D. F
正确答案： B

深度解析：

1. 参数分析：$x =$ "csp-j"（长度 5），$y =$ "p-jcs"（长度 5）。长度相等。
2. 拼接字符串：$x+x =$ "csp-jcsp-j"。
3. 匹配子序列：我们在 $x+x =$ "csp-jcsp-j" 中寻找 $y =$ "p-jcs" 的每个字符：
   • 第 1 个字符 'p'：出现在 x+x 下标 2 处（cs[p]-jcsp-j）
   • 第 2 个字符 '-'：出现在 x+x 下标 3 处（csp[-]jcsp-j）
   • 第 3 个字符 'j'：出现在 x+x 下标 4 处（csp-[j]csp-j）
   • 第 4 个字符 'c'：出现在 x+x 下标 5 处（csp-j[c]sp-j）
   • 第 5 个字符 's'：出现在 x+x 下标 6 处（csp-jc[s]p-j） 按顺序依次匹配下标 $2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$，完美找到了子序列 "p-jcs"。
4. 计算结果：LCS 长度 $f(x+x, y) = 5 = y.size()$，g 函数返回 true。
5. 输出格式：在 C++ 标准库中，cout 默认将布尔值 true 打印为整数 1（false 打印为 0）。因此输出为 1。

6. 当输入为 csppsc spsccp 时，输出为（ ）。

A. T
B. F
C. 0
D. 1
正确答案： D

深度解析：

1. 参数分析：$x =$ "csppsc"（长度 6），$y =$ "spsccp"（长度 6）。长度相等。
2. 拼接字符串：$x+x =$ "csppsccsppsc"。
3. 匹配子序列：在 $x+x$ 中按顺序查找 $y =$ "spsccp" 的每个字符：
   • 第 1 个字符 's'：取第 1 个字符（下标 1：c[s]ppsc...）
   • 第 2 个字符 'p'：取第 2 个字符（下标 2：cs[p]psc...）
   • 第 3 个字符 's'：取第 4 个字符（下标 4：cspp[s]c...）
   • 第 4 个字符 'c'：取第 5 个字符（下标 5：cspps[c]...）
   • 第 5 个字符 'c'：取第 6 个字符（下标 6：csppsc[c]...）
   • 第 6 个字符 'p'：取第 8 个字符（下标 8：csppsccs[p]...） 匹配到的下标序列为 $1 < 2 < 4 < 5 < 6 < 8$，成功拼出 "spsccp"。
4. 计算结果：LCS 长度 $f(x+x, y) = 6 = y.size()$，g 函数返回 true，cout 打印出 1。

📍 第三题：因子平方和计算与数论推演

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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int solve1(int n){
    return n*n;
}

int solve2(int n){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            if(n/i==i){
                sum+=i*i;
            }else{
                sum+=i*i+(n/i)*(n/i);
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cout<<solve2(solve1(n))<<" "<<solve1(solve2(n))<<endl;
    return 0;
}

假设输入的 $n$ 是绝对值不超过 1000 的整数，完成下面的判断题和单选题：

💡 程序主旨

1. solve1(n) 函数：计算并返回 $n^2$。
2. solve2(n) 函数：计算正整数 $n$ 的 所有因子的平方和。
   • 使用试除法枚举 $i \in [1, \lfloor\sqrt{n}\rfloor]$。
   • 若 $i$ 能整除 $n$，则 $i$ 与 $\frac{n}{i}$ 均为 $n$ 的因子。
   • 当 $\frac{n}{i} == i$ 时（即 $n$ 为完全平方数），只累加一次 $i^2$；否则累加 $i^2 + (\frac{n}{i})^2$。
3. main 函数：
   • 第一项输出：solve2(solve1(n))，即计算 $n^2$ 的所有因子的平方和；
   • 第二项输出：solve1(solve2(n))，即计算 （$n$ 的所有因子的平方和）的平方。

❓ 判断题

1. 如果输入的 $n$ 为正整数，solve2 函数的作用是计算 $n$ 所有的因子的平方和（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
试除法通过循环 $1 \le i \le \sqrt{n}$，找到 $n$ 的每一对因子 $(i, n/i)$。对于每一对因子，代码分别计算了它们的平方 $i^2$ 和 $(n/i)^2$ 并进行累加。这种方法完整且不重不漏地计算了正整数 $n$ 的所有约数（因子）的平方之和。因此说法正确。

2. 第 13 ~ 14 行的作用是避免 $n$ 的平方根因子 $i$（或 $n/i$）进入第 16 行而被计算两次（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
当 $n$ 是一个完全平方数时（例如 $n = 9$，$i = 3$），满足 $n/i == i$。 若不进行第 13~14 行的特判直接执行第 16 行 sum += i*i + (n/i)*(n/i)，则 $3^2$ 会被加两次（算成 $3^2 + 3^2 = 18$）。13~14 行的 if(n/i == i) sum += i*i; 正是为了去重，防止平方根因子被计算两次。故本题说法正确。

3. 如果输入的 $n$ 为质数，solve2(n) 的返回值为 $n^2 + 1$（ ）

A. 正确
B. 错误
正确答案： A

深度解析：
若 $n$ 为质数（如 2, 3, 5, 7 …），根据质数的定义，其正因子有且仅有两个：$1$ 和 $n$。 因此，solve2(n) 计算的因子平方和为： \(\text{solve2}(n) = 1^2 + n^2 = n^2 + 1\) 说法完全正确。

❓ 单选题

4. （4分）如果输入的 $n$ 为质数 $p$ 的平方，那么 solve2(n) 的返回值为（ ）

A. $p^2 + p + 1$
B. $n^2 + n + 1$
C. $n^2 + 1$
D. $p^4 + 2p^2 + 1$
正确答案： B

深度解析：
若输入 $n = p^2$（其中 $p$ 为质数）：

1. $n$ 的所有正因子为：$1, p, p^2$（共 3 个因子）。
2. solve2(n) 返回这 3 个因子的平方和： \(\text{solve2}(n) = 1^2 + p^2 + (p^2)^2 = 1 + p^2 + p^4\)
3. 将 $n = p^2$ 代入上式可得 $p^4 = (p^2)^2 = n^2$，故： \(\text{solve2}(n) = n^2 + n + 1\) 对应 B 选项。

5. 当输入为正整数时，第一项减去第二项的差值一定（ ）

A. 大于 0
B. 大于等于 0 且不一定大于 0
C. 小于 0
D. 小于等于 0 且不一定小于 0
正确答案： D

深度解析：
我们需要比较第一项 solve2(solve1(n)) 与第二项 solve1(solve2(n)) 的大小关系。 设第一项为 $A = \text{solve2}(n^2)$，第二项为 $B = (\text{solve2}(n))^2$。

我们通过代入具体数字校验：

• 当 $n = 1$ 时：
  • $n^2 = 1$，$\text{solve2}(1) = 1^2 = 1$，故 $A = 1$。
  • $\text{solve2}(1) = 1$，$(\text{solve2}(1))^2 = 1^2 = 1$，故 $B = 1$。
  • 差值 $A - B = 1 - 1 = 0$。
• 当 $n = 2$ 时：
  • 第一项 $A = \text{solve2}(2^2) = \text{solve2}(4)$。$4$ 的因子为 $1, 2, 4$，其平方和 $A = 1^2 + 2^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21$。
  • 第二项 $B = (\text{solve2}(2))^2$。$2$ 的因子为 $1, 2$，其平方和为 $1^2 + 2^2 = 5$，故 $B = 5^2 = 25$。
  • 差值 $A - B = 21 - 25 = -4 < 0$。

综上所述，差值可以等于 0（当 $n = 1$ 时），也可以小于 0（当 $n > 1$ 时）。因此差值 小于等于 0 且不一定小于 0，对应 D 选项。

6. 当输入为 5 时，输出为（ ）

A. 651 625
B. 650 729
C. 651 676
D. 652 625
正确答案： C

深度解析：
当输入 $n = 5$ 时：

1. 计算第一项 solve2(solve1(5))：
   • solve1(5) $= 5^2 = 25$。
   • solve2(25)：$25$ 的因子有 $1, 5, 25$。
   • 第一项 $= 1^2 + 5^2 + 25^2 = 1 + 25 + 625 = \mathbf{651}$。
2. 计算第二项 solve1(solve2(5))：
   • solve2(5)：$5$ 是质数，因子有 $1, 5$，其平方和 $= 1^2 + 5^2 = 26$。
   • solve1(26) $= 26^2 = \mathbf{676}$。
3. 拼装输出：程序输出用空格分隔的两项，结果为 651 676。对应 C 选项。

💡 总结与解题技巧

在 CSP-J 阅读程序题中，拿到高分的核心在于：

1. 宏观理解程序目的：切忌一上来就机械盲目代入数据计算。先看包含哪些函数，根据关键公式（如海伦公式、LCS 动态规划、试除法）判断程序功能，能大幅提升答题效率。
2. 注意语言与输出细节：如 C++ 浮点输出格式 fixed + precision、bool 变量用 cout 输出的默认格式（1 或 0）、vector/数组下标越界对程序的影响等。
3. 擅用特殊值与特例代入：在做性质判断与公式单选题（如第 3 大题第 5 小题）时，构造 $n=1, n=2$ 等小样本数据快速验证，是避开复杂证明、高准确率解题的捷径！

所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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