近世代数——群

半群和含幺半群

定义 设 SS 是一个非空集合，若 SS 上存在一个二元运算 ∘\circ，满足结合律，即对任意 a,b,c∈Sa,b,c \in S 有 a∘(b∘c)=(a∘b)∘ca \circ(b \circ c) = (a \circ b) \circ c（结合律），则称代数系统 (S,∘)(S,\circ) 为半群。

半群要求:

• 是一个代数系统
• 满足结合律

对于半群，其存在幂运算 an=a∘a∘⋯∘a⏞n个a^n = \overbrace{a \circ a \circ \dots \circ a}^{n\text{个}}
易证：aman=am+n,(am)n=amn,∀a∈M,m,n∈Na^ma^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn},\forall a \in M,m,n \in N
需要特别注意的是，这里的幂运算依赖于运算系统的运算，也即对于加法系统，幂运算实际上是乘法；对于乘法系统，才是通常意义的幂运算

定义 对于二元运算，如果满足下述条件，则称 (M,∘)(M,\circ) 为含幺半群，ee 为单位元（幺元）

• ∀a,b,c∈M\forall a,b,c \in M，有 a∘(b∘c)=(a∘b)∘ca \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
• ∃e∈M\exists e \in M，使 ∀a∈M,e∘a=a∘e=a\forall a \in M, e \circ a = a \circ e = a

定义: 含幺半群中单位元是唯一的

定义 如果半群 (S,∘)(S,\circ) 中的二元运算 ∘\circ 是可交换的（∀a,b∈S,a∘b=b∘a\forall a,b \in S, a \circ b=b \circ a），则称 (S,∘)(S,\circ) 是可换半群

定义 元素 aa 满足 a2=aa^2=a，则称 aa 为幂等元

定义 如果含幺半群 (M,∘)(M,\circ) 满足 m∈Mm \in M，使得 M={mn∣n为非负整数}M=\{m^n | n \text{为非负整数}\}，则 MM 为循环含幺半群，mm 为循环含幺半群的生成元

定义 设 (S,∘)(S,\circ) 和 (T,∗)(T,*) 是两个半群，映射 f:S→Tf: S \rightarrow T 称为 SS 到 TT 的半群同态映射。若 a,b∈Sa,b \in S，有 f(a∘b)=f(a)∗f(b)f(a \circ b)=f(a) * f(b)

• 如果 ff 为满射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的满同态；
• 如果 ff 为单射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的单一同态；
• 如果 ff 为双射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的同构映射（简称同构），记作 S≅TS \cong T；
  如果代数系统 (S,∘)(S,\circ)，(T,∗)(T,*) 且映射 f:S→Tf: S \rightarrow T 称 SS 到 TT 的满同态
• 若 (S,∘)(S,\circ) 是半群，则 (T,∗)(T,*) 也是半群
• 若 (S,∘)(S,\circ) 是含幺半群，则 (T,∗)(T,*) 也是含幺半群，且单位元对应单位元

群

定义 一个含幺半群 (G,∘)(G,\circ)，如果 GG 的每一元均有逆元，即群是一个具有二元运算的集合，且满足下面三个条件：

• 结合律：∀a,b,c∈G,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c\forall a,b,c \in G, a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
• 单位元：∀a∈G,∃e,e∘a=a∘e=a\forall a \in G, \exists e, e \circ a = a \circ e = a
• 逆元: ∀a∈G,∃a−1∈G,a∘a−1=a−1∘a=e\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e

要证明是一个群，需要分别证明以下 5 点：

• 运算为二元运算
• 运算封闭
• 满足结合律
• 存在单位元
• 每个元素都有逆元

定义 满足交换律的群，也称阿贝尔群

定理 群 (G,∘)(G,\circ) 中元素 aa 的逆元是唯一的

群的等价定义

对于半群 GG，下述内容等价

• GG 是群
• GG 有左单位元 ll，而且 ∀a∈G\forall a \in G 关于这个左单位元 ll 都是左可逆（∀a∈G,∃b∈G,ba=l\forall a \in G, \exists b \in G, ba=l）
• GG 有右单位元 rr，而且 ∀a∈G\forall a \in G 关于这个右单位元 rr 都是右可逆（∀a∈G,∃b∈G,ab=r\forall a \in G, \exists b \in G, ab=r）
• ∀a,b∈G\forall a,b \in G， 方程 ax=b,ya=bax=b, ya=b 有解

定义 对于群 (G,∘)(G, \circ) 中的一个元素 aa，满足 an=ea^n = e 的最小正整数 nn 称为元素 aa 的阶。记作 o(a)=no(a)=n 或 ∣a∣=n|a|=n；若不存在这样的 nn，则元素 aa 是无限阶，记作 o(a)=∞o(a)=\infty 或 ∣a∣=∞|a|=\infty

定理 群元素 aa 与其逆元素 a−1a^{-1} 有相同的阶

定义 群 (G,∘)(G,\circ)中元素的个数称为群 GG 的阶；当群元素有限时，称为有限群；当群元素无限时，称为无限群

定理 设 GG 为一个有限半群，若 GG 的运算适合左、右消去律，则 GG 为群

子群

定义 设 HH 是群 GG 的一个非空子集，若 HH 对 GG 的乘法构成群，则称 HH 为 GG 的子群，称为 H≤GH \le G

任意群 GG，都有两个子群：{e}\{e\} 和 GG，这两个群称为群 GG 的平凡子群。
若 H≤GH \le G，且 H≠GH \ne G，则称 HH 是 GG 的一个真子群，记为 H<GH \lt G

性质

• 传递性：H≤K,K≤G⇒H≤GH \le K, K \le G \Rightarrow H \le G
• 遗传性：H≤K,∀a∈H,eH=eG,aH−1=aG−1H \le K, \forall a \in H, e_H=e_G, a^{-1}_H = a^{-1}_G

子群等价定义
对于群 GG，∅≠H⊆∣G\empty \ne H \subseteq | G，下列定义等价

• H≤GH \le G
• ∀a,b∈H,ab∈H,a−1∈H\forall a,b \in H, ab \in H, a^{-1} \in H
• ∀a,b∈H,ab−1∈H\forall a,b \in H, ab^{-1} \in H

群同态

定理 设 GG 为群，G‾\overline{G} 为一个带有乘法运算的非空集合，若存在 f:G→G‾f: G \rightarrow \overline{G} 为满同态映射，则 G‾\overline{G} 也是一个群

定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，在 GG 到 G‾\overline{G} 的一个同态满射 ff 之下，GG 的单位元 ee 的像 f(e)f(e) 是 G‾\overline{G} 的单位元，GG 中元素 aa 的逆元 a−1a^{-1} 的像 f(a−1)f(a^{-1}) 是 G‾\overline{G} 中元素 f(a)f(a) 的逆元

定义 设 GG 和 G′G' 都是群，ff 是 GG 到 G′G' 的映射，若 ff 保持运算，即 ∀x,y∈G,f(xy)=f(x)f(y)\forall x,y \in G, f(xy)=f(x)f(y)，则称 ff 是 GG 到 G′G' 的同态

• 若 ff 为单射，则称 ff 为单同态
• 若 ff 为满射，则称 ff 为满同态，并称 GG 和 G′G' 同态，记作 G∽G′G \backsim G'
• 若 ff 为双射，则称 ff 为同构，并称 GG 和 G′G' 同构，记作 G≅G′G \cong G'

循环群

定义 设 GG 是一个群，a∈Ga \in G。若 ∀b∈G\forall b \in G，均存在 n∈Zn \in \bm{Z}，使得 b=anb=a^n，则称 GG 是由 aa 生成的循环群，aa 叫做 GG 的一个生成元，记作 G=<a>G=<a>

定理 循环群 G=<a>G=<a> 的子群也是循环群

定理 设 gg 是群 (G,∘)(G, \circ) 中的任意元素，gg 的阶为 mm，则 G1={gr∣r∈Z}G_1 = \{g^r | r \in \bm{Z}\} 是 GG 的 mm 阶子群

• 循环群的阶与生成元的阶相同：群 G=<a>G=<a>，∣G∣=o(a)|G|=o(a)
  • o(a)=mo(a)=m，则 ∣G∣=m,G={e=a0,a1,⋯ ,am−1}|G|=m, G=\{e=a^0,a^1,\cdots,a^{m-1}\}
  • o(a)=∞o(a)=\infty，则 ∣G∣=∞,G={⋯ ,a−2,a−1,a0,a1,a2⋯ }|G|=\infty, G=\{\cdots, a^{-2},a^{-1}, a^0, a^1, a^2 \cdots\}

定理 同阶的循环群同构

对于循环群的存在存在问题、数量问题、构造问题都以能解答，循环群已完全在我们掌握之中

变换群

定义

• 变换: 设 MM 是一个非空集合，若 τ\tau 是 MM 到 MM 的运算 τ:M→M\tau: M \rightarrow M。则称 τ\tau 是 MM 的一个变换
• 变换集合:
  • 由 MM 的全体变换做成的集合，记为 T(M)T(M) （∣T(M)∣=nn|T(M)| = n^n）
  • 由 MM 的全体一一变换做成的集合记为 S(M)S(M) （∣S(M)∣=n!|S(M)|=n!）
• 变换乘法: τ1,τ2∈T(M)\tau_1,\tau_2 \in T(M)，规定 ∀a∈M\forall a \in M，有 τ1τ2(a)=τ1(τ2(a))\tau_1 \tau_2 (a)= \tau_1(\tau_2(a))，称 τ1τ2\tau_1\tau_2 为 τ1\tau_1 和 τ2\tau_2 的乘法
• 恒等变换 ϵ\epsilon ∀τ∈T(M),ϵτ=τ\forall \tau \in T(M), \epsilon \tau = \tau

定义 集合 AA 的所有一一变换构成的集合 E(A)E(A)，关于变换的合成运算 ∘\circ 所构成的群 (E(A),∘)(E(A),\circ)，称为 AA 的一一变换群，(E(A),∘)(E(A),\circ) 的子群称为变换群

定理 设 MM 为非空集合，S(M)S(M) 关于变换的乘法构成 MM 的一个变换群

凯莱定理(Cayley) 任何一个群都和一个变换群同构

变换群的凯莱定理说明，如果可以把所有变换群研究清楚，那么就相当于将所有群都研究清楚了。

置换群

定义 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。一个有限集合的若干个置换作为一个群叫做一个置换群

定义 一个包含 nn 个元的集合的全体置换做成的群叫做 nn 次对称群，使用 SnS_n 表示，nn 次对称群 SnS_n 的阶是 n!n!

对于置换 π:i→ki,i=1,2,3,⋯\bm{\pi}: i \rightarrow k_i,i=1,2,3,\cdots，可以将其置换描述为下述形式：
(12⋯nk1k2⋯kn)\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{pmatrix}这里第一行的次序没有特别要求，只需要保证上下两行关系对应即可。但通常默认第一行按照顺序写

对于多个置换关系的合成，可以如下计算：
(123132)(123213)=(123312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

置换的计算方法

这里的计算不是简单的如下置换（该结果为 (123231)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{pmatrix}，显然与上述结果不同）

对于 (123132)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 3 & 2\end{pmatrix}，如果有有序集合 {a,b,c}\{a,b,c\}，其置换后的结果应该为 {a,c,b}\{a,c,b\}
而对该集合继续进行 (123213)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \end{pmatrix} 置换，可以得到 {c,a,b}\{c,a,b\}

将 {c,a,b}\{c,a,b\} 与原本的 {a,b,c}\{a,b,c\} 对比，可以得到置换为 (123312)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}，也即正确的结果

置换合成的正确计算思路应该如下：

1. 只看第二行内容 {1,3,2}\{1,3,2\} 和 {2,1,3}\{2,1,3\}
2. 合成后的结果为 {1,3,2}\{1,3,2\} 的第 22 个元素，第 11 个元素，第 33 个元素的顺序列表，也即 {3,1,2}\{3,1,2\}
3. 将结果还原成置换矩阵 (123312)\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}

如果对上述过程进行简化，可以发现其就是从右往左计算“错误思路”。如下图，从右往左即可得到正确结果1→3,2→1,3→21 \rightarrow 3,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 2，即 (123312)\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}

置换的另一种表示

如果置换 π\bm{\pi} 是一个长度为 rr 的轮换（rr 循环置换）(i1,i2,⋯ ,ir)(i_1,i_2,\cdots,i_r)，则其有置换关系 ij→ij+1i_j \rightarrow i_{j+1}

(1234523145)=(123)=(231)=(312)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5\end{pmatrix}=(123)=(231)=(312)
(1234523451)=(12345)=(23451)=⋯=(51234)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{pmatrix}=(12345)=(23451)=\cdots=(51234)
(1234512345)=(1)=(2)=(3)=(4)=(5)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}=(1)=(2)=(3)=(4)=(5)

定理 SnS_n 中的一个 rr 轮换的阶为 rr
定理 每一个 nn 个元素的置换 π\bm{\pi} 都可以写成若干个不相交轮换的乘积
定理 每一个有限群都和一个置换群同构

正规子群

陪集

群的积

设 GG 为群，A,BA,B 是群 GG 的两个非空子集，AB={ab∣a∈A,b∈B}AB=\{ab|a \in A,b \in B\}。

若 B={g}B=\{g\}，则：

• Ag=AB={ag∣a∈A}Ag=AB=\{ag|a\in A\}

• gA=BA={ga∣a∈A}gA=BA=\{ga|a \in A\}

定义 对于群 GG 和其一个子群 HH，规定一个关系 R:aRbR: aRb（当且仅当 ab−1=Hab^{-1}=H）
RR 是一个等价关系：

• aa−1=e∈Haa^{-1}=e \in H
• ab−1∈H⇒(ab−1)−1=ba−1ab^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}
• ab−1∈H,bc−1∈H⇒(ab−1)(bc−1)=ac−1∈Hab^{-1} \in H,bc^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1} \in H
  故 aRb,bRc⇒aRcaRb,bRc \Rightarrow aRc
  使用该等价关系可以获得一个 GG 的分类，这种类就是陪集

对于一个群 GG 的子群 HH，可以根据等价关系 ab−1∈Hab^{-1}\in H，来将整个群分为多个等价类。
称 HaHa 为 GG 关于 HH 的一个右陪集（代表写在右边）
同理，也有 aHaH 为 GG 关于 HH 的一个左陪集（代表写在左边）

对一个群进行分类的题目，可以先选取一个子群，使用所有的元素“乘”这个子群，可以发现有些结果是相同的，可以从不同的结果中分别选取一个代表作为陪集的代表。

性质 （以左陪集为例）

• a∈aHa \in aH（分类的代表在该分类中）
• a∈H⇔aH=Ha \in H \Leftrightarrow aH=H（子集 HH 的分类对应的陪集是 HH 本身）
• b∈aH⇔aH=bH⇔a−1b∈Hb\in aH \Leftrightarrow aH=bH \Leftrightarrow a^{-1}b \in H（对于右陪集为 ba−1∈Hba^{-1} \in H）
• aH⋂bH≠∅⇒aH=bHaH \bigcap bH \ne \empty \Rightarrow aH=bH
• 群 GG 的每个元素属于且只属于一个左陪集
• 群 GG 按照子群 HH 的陪集分类后，再无其他子群

定理 陪集之间的关系：一个子群 HH 和 HH 的每一个右陪集 HaHa 之间都存在一个一一映射。群 GG 的任意两个陪集含有相同个数的元素

定理 左右陪集的关系：群 GG 的子群 HH 左右陪集构成的集合，存在一一映射关系。HH 在 GG 中左陪集的个数与右陪集的个数相同

拉格朗日定理

拉格朗日定理

子群的阶都是有限母群阶的因子

设 HH 是有限群 GG 的一个子群，那么 HH 的阶 nn 和它在 GG 里的指数 jj 都能整除 GG 的阶 NN，并且 N=njN=nj

推论一: #H∣#G\#H|\#G，子群元素个数是群元素个数的因数

推论二: 群元素 aa 的阶是群 GG 的阶的因数

推论三: 每个阶为素数 pp 的群 GG 都是循环群

三次对称群 S3S_3 的所有子群

子群的阶是 #S3=6\#S_3=6 的因子，即 1,2,3,61,2,3,6

S3S_3 的 11 阶子群: {(1)}\{(1)\}
S3S_3 的 22 阶子群: 必是循环群，{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)}\{(1),(12)\},\{(1),(13)\},\{(1),(23)\}
S3S_3 的 33 阶子群: 必是循环群，{(1)}\{(1)\}
S3S_3 的 66 阶子群: S3S_3

正规子群

定义 一个群 GG 的子群 NN 叫做一个正规子群，假如对于 GG 的每一个元 aa 来说，都有 Na=aNNa=aN，记作：N⊲GN \lhd G。一个正规子群 NN 的一个左（右）陪集叫做 NN 的一个陪集

例：一个群 GG 和 ee 总是不变子群

例：NN 刚好包含群 GG 的所有具有以下性质的元 nn，∀a∈G,na=an\forall a \in G,na=an。那么 NN 是 GG 的一个不变子群

定理 一个群 GG 的一个子群 NN 是一个正规子群的充分必要条件是（任选其一）

• ∀a∈G,ana−1=N\forall a \in G, ana^{-1} = N
• ∀a∈G,∀n∈N⇒ana−1∈N\forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow ana^{-1} \in N
• ∀a∈G,∀n∈N⇒a−1na∈N\forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow a^{-1}na \in N

定理 设 (G1,∘)(G_1,\circ) 与 (G2,∘)(G_2,\circ) 是群 (G,∘)(G,\circ) 的正规子群，则 (G1G2,∘)(G_1G_2,\circ) 是群 (G,∘)(G,\circ) 的正规子群

商群

定理 一个正规子群的陪集对于 (xN)(yN)=(xy)N(xN)(yN)=(xy)N 的乘法来说构成一个群

定义 一个群 GG 的一个正规子群 NN 的陪集所构成的群叫做一个商群，使用符号 G/NG/N 表示

G的阶N的阶=G/N的阶\frac{G\text{的阶}}{N\text{的阶}}=G/N\text{的阶}

定理 设 HH 是群 (G,∘)(G, \circ) 的子群，HH 在 GG 中的指数为 22，即 #(G:H)=2\#(G:H)=2，则 HH 是 GG 的正规子群，且 GG 关于 HH 的所有陪集构成的商群 G/H=Hg∣g∈GG/H={Hg|g \in G} 是二阶循环群

定义 如果一个群 GG，除了 {e}\{e\} 和 GG 之外，没有其他正规子群，则称 GG 为单群

群同态基本定理

• ker⁡f={g∈G∣f(g)=eH}\ker f=\{g \in G|f(g)=e_H\} 是 GG 的正规子群
• ℑf\Im f 是 HH 的正规子群，且商群 G/Kerf≅ImfG/Ker f \cong Im f

定理 一个群 GG 与他的每一个商群 G/NG/N 同态

定义 设 ϕ\phi 是一个群 GG 到另一个群 G‾\overline{G} 的一个同态满射，G‾\overline{G} 的单位元 e‾\overline{e} 在 ϕ\phi 之下的所有逆像所做成的 GG 的子集叫做同态满射 ϕ\phi 的核，记作 ker⁡ϕ:={a∣a∈G,ϕ(a)=e‾}\ker\phi: = \{a|a \in G, \phi(a)=\overline{e}\}

定理 设 ff 是 G→HG \rightarrow H 的群同态映射，则：ff 是单一同态当且仅当 ker⁡(f)={eG}\ker(f)=\{e_G\}

群同态基本定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，并且 GG 与 G‾\overline{G} 满同态，那么这个同态映射 ff 的核 NN 是 GG 的一个正规子群，并且 G/N≅G‾G/N \cong \overline{G}，即 G/ker⁡f≅ImfG/\ker f \cong \text{Im}f

定义 假定 ϕ\phi 是集合 AA 到集合 A‾\overline{A} 的一个满射，则

• S‾\overline{S} 是 AA 的一个子集 SS 在 ϕ\phi 之下的像，假如 S‾\overline{S} 刚好包含所有 SS 的元素在 ϕ\phi 之下的像。即 S‾=ϕ(S)={ϕ(x)∣x∈S}\overline{S} = \phi(S) = \{\phi(x) | x \in S\}
• SS 是 A‾\overline{A} 的一个子集 S‾\overline{S} 在 ϕ\phi 之下的拟像，假如 SS 刚好包含所有 S‾\overline{S} 的元素在 ϕ\phi 之下的逆像。即 S=ϕ−1(S‾)={x∣x∈A,ϕ(x)∈S‾}S = \phi^{-1}(\overline{S}) = \{x | x \in A, \phi(x)\in\overline{S}\}

定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，并且 GG 与 G‾\overline{G} 同态，那么这个同态满射下：

• GG 的一个子群 HH 的像 H‾\overline{H} 是 G‾\overline{G} 的一个子群
• GG 的一个正规子群 NN 的像 N‾\overline{N} 是 G‾\overline{G} 的一个正规子群
• G‾\overline{G} 的一个子群 H‾\overline{H} 的逆像 HH 是 GG 的一个子群
• G‾\overline{G} 的一个正规子群 N‾\overline{N} 的逆像 NN 是 GG 的一个正规子群

定理 设 N,H,GN,H,G 均为群，N⊲G,H⊲GN \lhd G, H \lhd G，并且 N⊆HN \subseteq H，则有 G/H≅G/NH/NG/H \cong \frac{G/N}{H/N}

定理 若 G=<a>G=<a> 是一个循环群，则：

• o(a)=∞⇒G≅(Z,+)o(a) = \infty \Rightarrow G \cong (\bm{Z},+)
• o(a)=m⇒G≅(Zm,+)o(a) = m \Rightarrow G \cong (\bm{Z}_m,+)

群的构造

两个群 (G,∘)(G,\circ) 与 (H,∗)(H,*) 的直积 (G×H,⋅)(G \times H, \cdot)，可以通过如下形式的运算来定义: (g1,h1)⋅(g2,h2)=(g1⋅g2,h1∗h2)(g_1,h_1) \cdot (g_2,h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2)
两个群的直积也是群