2017-1-16 ~ 2017-1-19
内容:

• 数学(数论 & 组合数学)
• 数据结构
• 图论
• 动态规划

数学(数论 & 组合数学)

唯一分解定理

每个正整数都可以唯一地表示成素数的乘积.
即有唯一的分解质因数的方案:
{% raw %}x=a1p1a2p2...anpnx=a_1^{p_1}a_2^{p_2}...a_n^{p_n}{% endraw %}
根据上面的式子,可以推知 x 共有 (p1+1)(p2+1)...(pn+1)(p_1+1)(p_2+1)...(p_n+1) 个约数

最大公因数和最小公倍数

若有
x=a1p1a2p2...anpnx=a_1^{p_1}a_2^{p_2}...a_n^{p_n}
y=a1q1a2q2...anqny=a_1^{q_1}a_2^{q_2}...a_n^{q_n}

则
gcd(x,y)=a1min(p1,q1)a2min(p2,q2)...anmin(pn,qn)gcd(x,y) = a_1^{min(p_1,q_1)}a_2^{min(p_2,q_2)}...a_n^{min(p_n,q_n)}
lcm(x,y)=a1max(p1,q1)a2max(p2,q2)...anmax(pn,qn)lcm(x,y) = a_1^{max(p_1,q_1)}a_2^{max(p_2,q_2)}...a_n^{max(p_n,q_n)}

同时可以很容易得到
x×y=gcd(x,y)×lcm(x,y)x \times y = gcd(x,y) \times lcm(x,y)

若
x=p×gcd(x,y)x = p \times gcd(x,y)
y=q×gcd(x,y)y = q \times gcd(x,y)

那么 x+y=(p+q)×gcd(x,y)x + y = (p+q) \times gcd(x,y)
可以得到 gcd(x,y)=gcd(x,x+y)gcd(x,y) = gcd(x,x+y)

欧几里得算法

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明如下:
若

a=p×ca = p \times c
b=q×cb = q \times c
a  mod  b=a−⌊ab⌋×ba \; mod \; b = a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b
a  mod  b=p×c−k×q×ca \; mod \; b = p \times c - k \times q \times c
a  mod  b=(p−kq)ca \; mod \; b = (p-kq)c
∴gcd(a,b)=gcd(b,a  mod  b)\therefore gcd(a,b) = gcd(b,a \; mod \; b)

之所以要不断交换 a b 的位置,是为了保证两边都要逐渐减小

根据这个算法,就可以写出求最小公倍数的算法

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

拓展欧几里得算法

对于方程 ax + by = c
有两种情况

• gcd(a,b) 是 c 的因子
  这种情况下,有 $ \frac{a}{gcd(a,b)}x + \frac{b}{gcd(a.b)}= \frac{c}{gcd(a,b)}$
  有可能存在整数解
• gcd(a,b) 不是 c 的因子
  这种情况下,两边同时除以 gcd(a,b) 左侧为整数,右侧为小数,不可能存在整数解

先考虑 ax+by=gcd(a,b) 的情况
当 b=0b=0 时,有 gcd(a,b)=a 即 x=1,y=0
当 b≠0b \neq 0,有 ax+by=gcd(a,b)
根据欧几里得算法 gcd(a,b)=gcd(b,a  mod  b)gcd(a,b) = gcd(b,a \; mod \; b)
有 ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a  mod  b)ax+by = gcd(a,b) = gcd(b,a \; mod \; b)
bx′+(a−b∗⌊ab⌋)y′=gcd(b,a  mod  b)bx′+(a−b∗\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor)y′ = gcd(b,a \; mod \; b)
可化得 ax+by=bx′+(a  mod  b)y′=ay′+b(x′−⌊ab⌋y′)ax+by = bx' + (a \; mod \; b)y' = ay'+b(x'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')
因此 $\begin{cases}
x=y'\
y=x'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'
\end{cases}$

由于已经知道递归到 b=0 时的解,因此可以一步一步得出 ax+by=gcd(a,b) 的解
而对于 ax+by=kgcd(a,b) 只需要将 x , y 同乘 k 即可

下面是对于 ax+by=gcd(a,b) 的解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

同余方程

中国剩余定理

对于一元线性同余方程组
{% raw %}$
\begin{cases}
x \equiv a_1 (mod ; m_1)\
x \equiv a_2 (mod ; m_2)\
...\
x \equiv a_n (mod ; m_n)\
\end{cases}
${% endraw %}

其中 m1m_1 、m1m_1 .... mnm_n 两两互质
则对任意整数 a1a_1 、a1a_1 .... ana_n 方程组有解

求解方法如下
令
M=m1m2m3...mnM=m_1m_2m_3...m_n
Mi=MmiM_i=\frac{M}{m_i}
tit_i为MiM_i模mim_i下的逆元,也即Miti≡1(mod  mi)M_it_i \equiv 1(mod \; m_i)

则有
x = a_1t_1M_1 + a_2t_2M_2 +
...

+ a_nt_nM_n + kM \; \; k \in Z

Lucas定理

若 p 为素数
n=nkpk+nk−1pk−1+...+n1p+n0n = n_kp^k + n_{k-1}p^{k-1} + ...+n_1p + n_0
m=mkpk+mk−1pk−1+...+m1p+m0m = m_kp^k + m_{k-1}p^{k-1} + ...+m_1p + m_0

则有C(n,m)=∏i=0kC(ni,mi)(mod  p)C(n,m) = \prod_{i=0}^{k} C(n_i,m_i)(mod \; p) 

数论的函数

• ϕ(n)\phi (n) : 不大于 n 且与 n 互素的数的个数
• μ(n)\mu (n) : 如果 n=kd2n=kd^2, μ(n)=0\mu (n)= 0, 否则 $\mu(n) = (-1)^k $,其中 k 是 n 的素因子数

积性函数

∀x,y\forall x,y 若 gcd(x,y)=1gcd(x,y)=1 ,则f(xy)=f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)
ϕ(x)\phi (x)和μ(x)\mu (x)都是积性函数

完全积性函数

∀x,y\forall x,y ,则f(xy)=f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y)

Euler筛法

对于积性函数 f(x) 可以用 Euler 筛法在 O(n) 的时间复杂度内预处理 f(1) f(2) ... f(n) 的值
若 t 是 x 的最小质因子,那么 f(x) 将在枚举到 x/t 时用 f(x/t) 与 f(t) 求出

Mobius反演

Dirichlet卷积
(f×g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)(f \times g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})

如果 f , g 是积性函数,那么 f × g 也是积性函数
且当 {% raw %}g(n)=∑d∣nf(d)g(n) = \sum_{d|n}f(d){% endraw %} 时
有 {% raw %}f(n)=∑d∣nμ(d)g(nd)f(n) = \sum_{d|n} \mu (d) g(\frac{n}{d}){% endraw %}

最大公约数和

{% raw %}$
\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{n}gcd(n,i) \
= &\sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i&d|n}\phi(d) \
= &\sum_{d|n}\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\phi(d)
\end{align*}
${% endraw %}

<br>

{% raw %}$
\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j) \
= &\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \sum_{d|i&d|n}\phi(d) \
= &\sum_{d=1}^{min(n,m)}\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor\phi(d)
\end{align*}
${% endraw %}

组合数

从 n 个数中选 m 个数,每个数最多选一次
C(n,m)=n!m!(n−m)!C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}

特别地,

• C(n,0) = C(n,n) = 1
• C(n,m) = C(n,n-m)
• C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)

二项式展开

(x+y)n=∑i=0nC(n,i)xiyn−i(x + y)^n = \sum_{i=0}^{n} C(n,i)x^iy^{n-i}

置换

置换群

置换作为元素的群
可以用来描述等价关系

Burnside引理

对于一个置换 f ,若方案 s 变回它自己,称它为 f 的不动点
f 的不动点数目记为 C(f)
等价类数目为所有 C(f) 的平均值

Polya定理

给 n 种颜色着 k 种颜色,设置换 f 的循环节为 m(f) ,则它的不动点数目为 C(f)=km(f)C(f) = k^{m(f)}

数据结构

RMQ问题

RMQ问题 是范围最小值查询问题

稀疏表(ST算法)

ST算法
ST算法是一种解决 RMQ 问题的效率较高的方法
在不需要更改节点的情况下,可以优先使用ST算法

线段树

线段树
当需要更新节点的时候,就需要使用线段树这种数据结构
在修改节点时,只需要改变其所在分支上的节点
在修改区间时,给区间加上tag,在以后用到该区间时,将tag传递给其子节点(O(log n))

如果线段树上的修改为 取模 操作,可以将其化为 最大值查询+单点修改

左式堆

又称左偏树、左倾堆

• 外部节点（external node）：左子树或右子树为空的节点
• 左偏树节点距离（dis）属性：该节点到最它的后代中最近的外部节点经过的距离
  特别地，外部节点dist = 0
• 左偏树key值满足堆性，左儿子dist>=右儿子dist

整个树呈现一种左倾的形态,根据这种特性,可以将插入、修改、删除全部以合并不同的左式堆代替
合并时,优先合并到右支

int merge(int u, int v){
    if (!u) return v;
    if (!v) return u;
    if (key[u] < key[v]) swap(u,v);
    r[u] = merge(r[u],v);
    if (dist[r[u]] > dist[l[u]]) swap(r[u], l[u]);
    dist[u] = r[u] > 0 ? dist[r[u]] + 1 : 0;
    return u;
}

并查集

并查集
在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合
然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个集合中
这一类问题数据量极大,若用正常的数据结构来描述的话,计算机无法承受
只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构——并查集来描述

带权并查集

顾名思义，就是在维护元素所属集合的同时记录集合的一些信息：

• 维护集合的最大最小值
• 维护集合的和
• 维护其它的信息

KMP算法

KMP算法
KMP算法是一种字符串匹配算法
可以快速地找出一个字符串在另一个字符串中第一次出现的位置

字典树(Trie)

字典树是一个26叉树，每次插入一个单词的话就是按照树的插入操作进行
将每个字母看作一个节点

AC自动机

AC 自动机是一种多模匹配算法
可以简单地将其看作 字典树+KMP算法

失败指针：AC自动机即在字典树上添加失败指针,这个失败指针与 KMP 的 next 数组类似

对应关系:

可持久化数据结构

所谓的可持久化数据结构,就是保存这个数据结构的历史版本,同时他们之间公用数据减少时间和空间的消耗
可用持久化的数据结构：线段树(常见),平衡树,块状链表,块状数组(较少见)等

对于线段树的可持久化

可持久化线段树常见应用：有修改的区间第k大

• 单点修改：
  • 修改一个叶子节点
    我们只需要新建一个新的叶子节点就能得到一个当前版本
  • 修改一个非叶子节点.
    两个孩子中最多有一个会被修改,于是递归调用.然后将当前版本复制一遍,另外一个孩子不变,当前孩子为修改后的版本.
• 查询.与线段树一样
• tag标记.遇到一个打了标记的节点,直接下传标记即可,下传的时候新建两个打了标记的节点.

图论

动态规划