要证明对于任意常数 K ，logkN = o(N)，我们需要使用大 O 符号的定义并应用极限的概念。

根据定义，我们需要证明对于任意常数 K ，存在一个正常数 c ，使得当 N 足够大时，有 |logkN| ≤ c|N|。

我们来思考 logkN 和 N 之间的关系。可以使用对数性质将其转化为 k^logkN = N 。 这表示 N 是以 k 为底的 k^logkN 的幂。

接下来，我们将考虑两种情况：当底数 k 大于 1 和 k 等于 1 时。

1. 当底数 k 大于 1 时：
由于对数函数的增长性质，我们可以得到 logkN ≤ N for all N > 0 。这意味着对于任意常数 K 和 N ，我们有 logkN ≤ N 。因此，我们可以选择 c = 1 来满足不等式 |logkN| ≤ c|N|，因为 logkN 的增长速度小于或等于 N 的增长速度。

2. 当底数 k 等于 1 时：
由于 log1N = 0 for all N > 0 ，我们可以将不等式变为 |log1N| ≤ c|N|。由于 log1N 在任意 N 的范围内都是常数 0 ，我们可以选择任意正常数 c 来满足不等式。

综上所述，对于任意常数 K ，logkN = o(N) 成立。
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