本文用图形化的方式，演示使用傅里叶级数来展开方波的过程。

假设我们希望展开的方波的周期为 $T$，方波的频率为 $\omega_0 = {2\pi \over T}$

( ☝ 图片来源：http://fabmodules.com/fab2110-loading-your-input-transformer-square-wave-testing/ )

将方波函数记作 $f(t)$ ， 下面我们来寻找如何用 傅里叶级数 来表示方波。

一般情况

方波的傅里叶级数有无穷多个项（因为突变那个位置有无限多的频率变化，可以想象为需要无穷多个圆润的正弦函数才能逼近尖尖的直角），也就是需要用无穷多个正弦函数表示。

$$ f(t) =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin{A_n \sin(\omega_n t)}$$

其中数列 $A_n$ 和 $ \omega_n $ 是我们寻求的解，这二者都是无穷多项。还好，为了简化，我们让 $ \omega_n $ 表示为 某一个基频 $ \omega_0 $ 的 $n$ 倍，也就是：

$$ \omega_n= n \omega_0$$

这样形成的一族函数 $\sin(\omega_n t) $ 就是正交的，能极大的方便我们的运算。关于简谐函数的正交性可以参考这篇文字：简谐三角函数族。 在函数族： $\sin(n \omega_0 t) $ 中，频率为 $ n $ 倍基频 $ \omega_0 $ 的正弦函数称为 $ n $ 次谐波。

一次谐波

如果限定只用一个正弦函数来展开，为了让正弦函数尽可能的逼近原始方波，那必然使用频率和方波频率 $ \omega_0 $ 相同的正弦波表示，也就是基频函数：

$$ \hat{f}(t) = \sin(\omega_0 t) $$

为了更优雅、更本质的观察问题，我们决定升高一个维度，从实数域来到复数域，才能更清楚的理解这些问题的本源。使用的方法复杂了，结论就变得简单了。工具复杂了，留给使用者的只有简单了。

我们想象一个以基频 $ \omega_0 $ 速度旋转的复向量：

$$ e^{j\omega_0 t}$$

那么上面的正弦基函数就是这个复向量的实部（为了简单化，不再区分 $\sin(t)$ 和 $\cos(t)$）

$$ \hat{f}(t) = \sin(\omega_0 t) = \mathcal{Re}(e^{j\omega_0 t})$$

虽然我们眼中看到的世界只有实部，但是并不妨碍我们能从更高维度的空间来思考身边的世界。

下面的图展示了复向量的实部才是我们观察到的现象，反过来说，我们观察到的只是世界的一个侧面。

想象一个纸片人，生活在二维的纸片世界里：

我们用铅笔在纸片人旁边的纸上匀速画圆

那么这位纸片人看到的是什么呢？应该是下图这样

所以当纸片人希望研究这个黑点的坐标位置 $x(t) $ 随时间的变化规律时，便可以想象一个旋转的二维实向量的横坐标，而事实上也确实是更高维度世界里的一个圆。

加入三次谐波

有了复向量的表示，上面的这个式子：

$$ f(t) =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin{A_n \sin(n \omega_0 t)}$$

就可以重新表示为：

$$ f(t) =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin{A_n e^{jn\omega_0 t}}$$

方波的谐波只有奇数谐波，也就是 $n$ 都是奇数，上一节 中限定只用一个正弦函数展开，本节再多加入一项，使用一次和三次谐波来逼近方波。

$$ \hat{f}(t) =A_1 e^{j\omega_0 t} + A_3 e^{j 3\omega_0 t} $$

其中向量的幅度 $A_1$ 和 $A_3$ 可以从傅里叶级数的推导计算得出，这里我们重点观察两个向量相加的直观表示。

复向量相加符合三角形法则：把第二个向量的起点放置在第一个向量的终点，第二个向量的终点就是得到的新的向量。

比如下图三个向量，满足矢量加法：

$$ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} $$

那么，上面这个式子：

$$ \hat{f}(t) =A_1 e^{j\omega_0 t} + A_3 e^{j 3\omega_0 t} $$

就是两个旋转的复向量首尾相连，而且其中一个是另一个旋转速度的三倍，也就是说其中一个转一周的时间内，另一个转完了三周，如下图所示：

图中的红点就是第二个向量的终点，也就是两个向量相加得到的和的位置，这个新向量的实部就是对方波的逼近： $ \hat{f}(t) $

当加入了三次谐波后，我们可以看到，这时的波形已经比一次谐波更接近方波了。

继续逼近

按照 上一节 中的规律，继续增加 五次、七次……等奇次谐波，可以观察到越来越接近方波。

逼近的方波在示波器上看到的效果:

( ☝ 图片来源：http://www.trevormarshall.com/byte_articles/byte6.htm )

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