卷积积分

一、 定义 

设有两个任意的时间函数，例如 和  (α为大于零的实常数)，其波形分别如图2-12(a)，(b)所示。利用图解法进行如下五个步骤的运算，从而引出卷积积分的定义。

(1) 将函数 ， 中的自变量 改换为 ，从而得到 ， ，这并不影响函数的图形，因为函数的性质和图形与自变量的字母符号无关，故其波形仍如图2-12(a)，(b)所示。

(2) 将函数 以纵坐标轴为轴折叠，从而得到折叠信号 ，如图2-12(c)所示。

(3) 将折叠信号 沿 轴平移 ， 为参变量，从而得到平移信号 ，如图2-12(d)所示。 t＞0时为向右平移， t＜0时为向左平移。

(4) 将 与 相乘， 从而得到相乘信号 ， 其波形如图2-12(e)所示。

(5) 将函数 在区间(-∞， ∞)上积分得

由于积分变量为τ，其积分结果必为参变量 的函数，故用 表示。该积分就是相乘函数 曲线下的面积（图2-12(e)中画斜线的部分）。上式所表述的内容即称为函数 与 的卷积积分，用符号“*”表示，即

               (2-15)

读作 与 的卷积积分，简称卷积。

观察图2-12(e)可见，当τ＜0-和τ＞t时，被积函数 ，这是因为 ， 均为因果函数的缘故。故式(2-15)中的积分限可改写为(0-， t)，即

                         (2-16)

但要注意，卷积积分的严格定义式仍然是式(2-15)，即积分的上下限仍然是(-∞， ∞)。

若将 ， 代入式(2-16)中，并积分即得

y(t)的曲线如图2-12(f)所示，称为卷积积分曲线。

求卷积积分时，积分上下限的确定是关键，也是难点，读者应通过做题仔细揣摩。

*二、 卷积积分上下限的讨论

卷积积分的严格定义应如式(2-15)所示，其积分的上下限应为区间(-∞， ∞)。但在具体计算时，积分的上下限可视函数 与 的特性而做些简化。

(1) 若 和 均为因果信号，则积分的上下限可写为(0-， t)，即

(2) 若 为因果信号， 为无时限信号，则积分的上下限可写为(0-, ∞)，即

(3) 若 为无时限信号， 为因果信号，则积分的上下限可写为(-∞， t)，即

 (4) 若 和 均为无时限信号，则积分的上下限可写为(-∞， ∞)，即

三、 运算规律

卷积积分的运算遵从现代数学中的一些运算规律。关于这些运算规律，留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。

（1） 交换律

（2）分配律

（3） 结合律

四、 主要性质

卷积积分有一些重要性质，深刻理解和掌握这些性质将对卷积的计算带来极大简便。关于这些性质，也留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。

1.  积分

2. 微分

3. 的微分与 的积分的卷积

应用性质2， 3的充要条件是必须有 。证明如下：

因有 

可见，只有当 时才会有 。

对 要求的条件也是一样，即 。

4. 与 的卷积

推论

5. 与 的卷积

6. 与 的卷积

推论

7.时移性

设 ，则有

证明  因有

故

        证毕

最后需要指出，上面所研究的卷积积分，其前提是卷积积分必须存在，即必须有 。若卷积积分不存在，即当 时，则卷积积分就没有意义了。

五、 常用的卷积积分表

常用的卷积积分如表2-2所列。

表2-2卷积积分表

例2-13求图2-13(a), (b)所示两函数的卷积积分 ，并画出 的波形，其中 。

解因   

当t＜0时

当t＞0时

故得

y(t)的波形如图2-13(c)所示。

例2-14求图2-14所示两函数的卷积积分 。

解                                    

例2-15已知 。求 。

解将原式等号两端同时求一阶导数得

即

再将原式代入上式并计算即得

例2-16求图2-15(a)，(b)所示两函数的卷积积分 ，并画出 的波形。

解 )称为单位冲激序列，其函数表示式为

其中T为周期。

若τ＜T，则y(t)的波形如图2-15(c)所示，可见y(t)的波形是f(t)波形的周期性延拓，延拓的周期为T。若τ=T，则y(t)的波形如图2-15(d)所示。若τ＞T，则y(t)的波形如何?请读者画出。

(c) τ＜T时；(d) τ=T时

例2-17求图2-16(a), (b)所示两函数的卷积积分 。

解根据卷积的微分积分性质有

在上式中                                

和 的波形分别如图2-16(c), (d)所示。于是可得 和 的曲线分别如图2-16(e), (f)所示。进而可得 的波形如图2-16(g)所示。可见， 的波形为“三角形”，宽度为 ，幅度为τ=1×1×τ。