在整理 二元二次条件下的线性式最值问题 时，豆包给出了这个方法，叫做地位等价法。以前也偶尔用，但是对其原理模模糊糊，不是非常清晰，借此机会，依托 AI 对其原理做个探究。
【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？
最终结论：\(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\)，最小值为 \(-2\sqrt{3}\)，即取值范围为 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .
这个题目的解法非常多，有 20+ 个以上的解法，思路各异，非常有利于思维训练，若感兴趣，请参阅二元二次条件下的线性式最值问题的 20 + 种解法(上) . 本博文仅仅讨论下述的这种解法。
解法❽：【地位等价法】高中技巧解法，适配小题秒杀、快速验算，思路巧妙，考场节省时间。用来做解答题嘛，还是欠点意思。
分析：约束式 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\) 为轮换对称式，\(x\) 与 \(y\) 互换后式子不变，二者地位完全对等，最值必在 \(x=y\) 处取得。虽然一时半会对其原因没有彻底想明白，但感觉对我整理的轮换对称式有帮助 。
解析：先判断对称性：\(x^2+y^2-xy=3\) 互换 \(x、y\) 无变化，故 \(x\)、\(y\) 的地位等价；
令 \(x=y\)，代入约束式：\(x^2+x^2-x^2=3\)，得到 \(x^2=3\) ，即 \(x=y=\pm\sqrt{3}\)；
当 \(x=y=\sqrt{3}\)时，代入计算最大值 \(x+y=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)，
当 \(x=y=-\sqrt{3}\)时，代入计算最小值 \(x+y=-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\)。
其一：从几何图形的角度解释，约束式为 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(xy\)\(=\)\(3\) ，这是一个旋转后的椭圆，中心在原点，关于直线 \(y=x\) 对称。目标式为 \(S=x +y\) 是一组斜率为 \(-1\) 的平行线。求 \(S=x+y\) 的最值，等价于找平行线与椭圆相切时的截距。因为椭圆关于 \(y=x\) 对称，直线 \(x+y=S\) 也关于 \(y=x\) 对称，所以切点一定在对称轴 \(y=x\) 上。切点满足 \(x=y\)，直接令 \(x=y\) 就能算出最值。
其二：从代数本质的角度解释，设约束式：\(F(x,y)=F(y,x)\)，目标式：\(S(x,y)=S(y,x)\)，假设 \((a,b)\) 是极值点，那么由对称性 \((b,a)\) 也一定是极值点，如果极值唯一[椭圆这种凸图形就是]，那么必须有 \(a=b\)，否则会出现两个不同极值点，矛盾。所以对称约束 + 对称目标 + 凸曲线（唯一极值）推导出极值必在 \(x=y\) 处。
约束式：\(x\)、\(y\) 对称式
目标式：\(x+y\)、\(xy\)、\(x^2+y^2\) 等对称式
图形：椭圆、圆、对称二次曲线
目标式不对称，比如求 \(2x+y\)
约束式不对称
定义域有限制，如 \(x>0\)、\(y>0\) 有时只出现在边界 .
【例子来自豆包举例】已知 \(x\)、\(y\)、\(z>0\)，且\(x+y+z\)\(=\)\(1\)，求 \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)的最小值。
简解：判断是轮换对称式，满足地位等价法的适用条件。
令 \(x=y=z\)，由 \(x+y+z=1\)，得到\(x=y=z=\cfrac{1}{3}\)，
代入求最小值 \(\cfrac{1}{x}\)\(+\)\(\cfrac{1}{y}\)\(+\)\(\cfrac{1}{z}\)\(=\)\(3+3+3\)\(=\)\(9\) .
为什么用 \(x=y=z\) 得到的是最小值，而不是最大值？
验证思路一：利用极限思想。令 \(x+y\to 1\)，则 \(z\to 0^+\)，此时 \(\cfrac{1}{z}\to +\infty\)，故 \(\cfrac{1}{x}\)\(+\)\(\cfrac{1}{y}\)\(+\)\(\cfrac{1}{z}\to +\infty\)，则说明其没有最大值。
验证思路二：利用均值不等式，\(\cfrac{1}{x}\)\(+\)\(\cfrac{1}{y}\) \(=(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z})(x+y+z)=3+(\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x})+(\cfrac{z}{y}+\cfrac{y}{z})+(\cfrac{z}{x}+\cfrac{x}{z})\geq 9\)，细节略。
【例子来自豆包举例】已知 \(x>0\)、\(y>0\)，且 \(\sqrt{x(1+y)}\)\(+\)\(\sqrt{y(1+x)}\)\(=\)\(2\) ，求 \(x+y\) 的最小值。
解析：判断对称性，约束式 \(\sqrt{x(1+y)}\)\(+\)\(\sqrt{y(1+x)}\)\(=\)\(2\)，把 \(x,y\) 互换，式子完全不变，是轮换对称式。
目标式：\(x+y\) 也对称，满足地位等价法条件：
令 \(x=y\)，代入约束式 \(\sqrt{x(1+x)} + \sqrt{x(1+x)} = 2\)，
即 \(2\sqrt{x(1+x)}\)\(=\)\(2\) ，也即\(x^2 + x - 1 = 0\)
因为 \(x>0\)，所以：\(x\)\(=\)\(\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)，
\(x+y\)\(=\)\(2x\)\(=\)\(-1+\sqrt{5}\)，\({(x+y)}_{\min} = \sqrt{5}-1\)
当且仅当 \(x=y=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) 时取到最小值。
解后反思：① 为什么二者相等取到的是最小值，而不是最大值，AI 给出的理由是：令 \(y\to 0^+\)，则 \(x\)\(=\)\(4\)，此时 \(x\)\(+\)\(y\)\(=\)\(4\)，即最大值的极限为 \(4\)，且 \(4>\)\(\sqrt{5}\)\(-\)\(1\)，故取到的是最小值，我感觉这个解释模模糊糊的是对的。但又不是很肯定。
②利用 Desmos 软件验证【隐函数图像做法】。经过摸索，大致能做出隐函数的图像，具体作图命令如下(二次根式在 Desmos 中的输入方法是sqrt，不是 \sqrt)：sqrt{x(y+1)}+sqrt{y(x+1)}=2{x>0,y>0}
结合具体的函数图像，能直观的看到，当这条关于直线 \(y=x\) 对称的曲线上的点往两端走的时候，\(x+y\to4\)，从对称的观点看，当这些点从两端往中间走的过程中，\(x\) 与 \(y\) 的值越来越接近，\(x+y\) 的值越来越小。当 \(x=y\) 时，\(x+y\) 最小。
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