1. loss

是一个单值

假设输入的词元id是[0, 1]

目标词元id是[1, 2]

 也就是根据输入得到两个预测输出，

注意上面的是id，每个id实际上是一个嵌入向量，比如768维向量，

假设词汇表是3，实际词汇表可能是5w

通过模型矩阵计算后，对于输入的每一个位置，都会输出一个3维度的向量，对齐进行softmax选择最大的概率作为预测输出，

这里输入序列有两个词元，因此会预测出两个结果，实际上是两个3维度的概率向量，比如[[0.320, 0.333, 0.347], [0.301, 0.332, 0.367]]，

这两个概率向量表明，预测输出都是2的概率最大

但实际上目标值第一个是1，第二个是2，

计算损失实际上是根据目标词元id，对预测结果中对应位置的概率求负对数

位置0: -log(0.333) ≈ 1.100
位置1: -log(0.367) ≈ 1.003
平均损失 = (1.100 + 1.003)/2 = 1.0515

其意义是，如果目标词元位置的概率很大，说明预测的准，那么这个熵损失值就很小，概率趋于1损失就趋于0，如果预测的不准就是概率小，那么损失值就很大，概率趋于0，损失值就趋于无穷大，

2. 梯度

2.1 损失对logits的梯度

 交叉熵损失梯度公式：∂L/∂logits = softmax(logits) - one_hot(target)

位置0（目标=1）
one_hot(1) = [0, 1, 0]
∂L/∂logits0 = [0.320, 0.333, 0.347] - [0, 1, 0] = [0.320, -0.667, 0.347]

位置1（目标=2）：
one_hot(2) = [0, 0, 1]
∂L/∂logits1 = [0.301, 0.332, 0.367] - [0, 0, 1] = [0.301, 0.332, -0.633]

可以看到，目标位置的梯度为负，且预测的越准的话，这个梯度绝对值就越小，那么在进行梯度下降是动作就要“轻微”点

非目标位置的梯度是正值，且非目标位置如果概率越大，表明越不准确，那么进行梯度下降时这个地方要“剧烈”点

 2.2 损失对参数的梯度

∂L/∂W = 嵌入^T × (∂L/∂logits)

假设输入嵌入矩阵是n*d，那么其转置是d*n，那么转置的每一行表示了n个位置每个位置的一部分，

(∂L/∂logits)是n*w矩阵，表示对于输入的n个位置，每个位置对于词汇表每个词汇的预测概率相应的损失，

这两矩阵相乘，结果是d*w矩阵，

可以用第一个值举例，这个值是由n个输入向量取每个第一个值，同时对n个输出概率向量每个取对词汇表第一个词汇的梯度值，进行相乘得到一个标量值，

那么结果的d*w矩阵，第i行第j列，包含了每个位置预测结果中第j个词元的概率梯度综合，以及输入序列嵌入矩阵每个输入的第i个值，

实际上，这个d*w矩阵就是参数矩阵

2.3 

我们再回忆下参数流

嵌入矩阵：w*d　

　　　　　　输入：n*d　　--h3

#忽略QKV

#QKV矩阵：d*d

#　　　　　　QK得到n*n自注意力矩阵

#　　　　　　再与V得到n*d矩阵

FFN网络矩阵1：d*f    --W3

　　　　　　得到n*f矩阵  -h2

FFN网络矩阵2: f*d　　--W2

　　　　　　得到n*d矩阵　　　　--h1

输出层矩阵：d*w　　　　--W1

　　　　　　得到n*w矩阵

2.3.1

根据n*w矩阵，我们得到对logits的梯度，也就是n*w矩阵，

下面我们反向一步步得到每个参数矩阵的梯度，

对输出层矩阵参数d*w，因为我们根据n*d矩阵和d*w矩阵相乘得到n*w矩阵，那么需要n*d的转置与n*w相乘就可得到d*w参数梯度。

其中n*d在有些教程中表示为h（隐藏矩阵），是一种中间态数据，需要报存在显存

2.3.2

第一步，计算∂L/∂logits， 这个通过预测结果softmax矩阵与目标序列one-hot矩阵相减得到，是一个n*w矩阵，

第二步，计算∂L/∂W1 = h1(T) * (∂L/∂logits) ，是一个d*w矩阵，这个矩阵形状和W1一样，    -- h1*W1 = n*w

第三步，计算∂L/∂h1 =  (∂L/∂logits) * W1(T), 是一个n*d矩阵，和h1形状一样，　　

第四步，计算∂L/∂W2 = h2(T) * ∂L/∂h1， 是一个f*d矩阵，形状和W2一样，　　　　　　　　-- h2*W2 = h1

第五步，计算∂L/∂h2 =  ∂L/∂h1 * W2(T)， 是一个n*f矩阵，

第六步，计算∂L/∂W3 = h3(T)*  ∂L/∂h2, 是一个d*f矩阵 ，                     -- h3*W3 = h2， h3就是inputs

第七步，计算∂L/∂h3 =  ∂L/∂h2 * W3(T)， 是一个n*d矩阵，

3.  参数更新

根据上面计算出的梯度，对每一个实体矩阵（嵌入矩阵以及参数矩阵）进行更新，中间态矩阵不用更新。

假设lr=0.01

3.1

更新inputs，也即是h3，也即是词嵌入

对于输入序列n个词的第i个嵌入，

E[i] = E[i] - 0.01*∂L/∂h3 [i]

或者整体上

E = E - 0.01

3.2 更新 W3

使用与其形状相同的梯度矩阵乘以学习率，然后将W3与结果相减，得到新的W3

4. 优化器

上面的还没有提到优化器，现在我们加入优化器

优化器包含两个状态m和v，或者叫动量和方差，对于每个参数值，都有一一对应的动量和方差，也就是说，每一个参数值同时对应两个优化器值，

所有的优化器状态初始化为0，

另外，还有几个值以及初始化举例如下，

学习率 lr=0.01

beta1=0.9, beta2=0.999， 即 β1，β2

epsilon=1e-8， 即  ε

时间步 t=1 (初始)

也就是说，这些值是优化器的一部分，可以看到，学习率成为了优化器的一部分，

使用优化器对每一个参数值进行更新，以W3举例，

首先已经得到W3的梯度矩阵，和W3的形状一样，设为W3Grad，现在对W3[0,0]进行更新，公式

m = β1·m + (1-β1)·grad
v = β2·v + (1-β2)·grad²
m̂ = m / (1 - β1ᵗ)
v̂ = v / (1 - β2ᵗ)

param = param - lr·m̂ / (√v̂ + ε)

其中grad就是W3Grad[0,0]， m，v也是对应的优化器状态值，目前初始值0，

这里我们更新的param 就是W3[0,0]

更新完成后，对应的m,v都变为新的值了，全部更新完后，时间t加1

也就是说，每次更新参数时，先将对应优化器值进行更新（根据给定的β1、β2以及计算出来的梯度值和时间步），然后，使用更新后的m、v，lr以及t对参数进行更新，

使用β1对m进行更新的意义，大部分还是保持m当前的值（使用β1乘以当前m，β1值比较接近1），少部分根据梯度值增加，也就是说，如果梯度越大，那么这个动量m变化也越大，梯度可以为负，所以动量可以往小变，一般来说，目标词元处的梯度为负，其他为正，

同理，梯度越大，方差v变化也越大，这个方差始终往大变

完了以后，这俩公式

m̂ = m / (1 - β1ᵗ)
v̂ = v / (1 - β2ᵗ)

将m和v的值按比例放大，时间步越大，这个放大比例越小，

最后就是更新参数了，方差大的话，更新的幅度小，动量大的话，更新的幅度大。

5 总结

从输入序列a矩阵到最后输出z矩阵中间会有x个参数矩阵，总共有x-1个中间态矩阵，或者叫临时矩阵

我们将临时矩阵标注为h1，，，h(x-1)

将参数矩阵标注为p1，，，px

a * p1 = h1，

h1* p2  = h2，

h(x-1)* px = z

最后的 z 是一个经过softmax后是一个概率矩阵，如果输入序列是n * d维度，那么z 就是 n * w维度，其中n是词元数，d是嵌入维度，w是词汇量

根据目标序列，将每个目标词元转为w维度的one-hot向量，组成一个n*w矩阵，与z进行减法运算，计算出梯度，实际的意义就是在目标词元处的概率如果大，梯度就小，如果概率小，梯度就大。

然后进行反向传播，

从z开始，依次计算px、h（x-1）、p(x-1），h（x-2），，，，，一直到p1，a的梯度，

最后根据梯度进行参数更新，注意，a实际上对应的是嵌入式表中输入词元对应的行，

我们用h0表示a，hx表示z，

要计算pi的梯度，前提是hi梯度已经得到，

根据公式h(i-1) * pi = hi,

得到pi = T(h(i-1)) * hi, 将hi的梯度带入，就得到pi的梯度，

同理h(i-1) = hi * T(pi) ，将hi的梯度带入得到h(i-1)的梯度。